@gbougioukas, με πολύ γρήγορη ανάγνωση, μια ερώτηση, εκεί που λες ότι:
"Με άλλα λόγια ο αλγόριθμος Α4 αποφασίζει το πρόβλημα του τερματισμού, αποτέλεσμα το οποίο έρχεται σε αντίφαση με το θεμελιώδες “θεώρημα του τερματισμού”
...λέει κανείς ότι για συγκεκριμένο αλγόριθμο, δεν μπορεί να υπάρξει άλλος αλγόριθμος που να αποφασίζει αν τερματίζει;
Να ένας αλγόριθμος:
Γράψε "Hello world"
Να και ο αλγόριθμος που αποφασίζει αν ο προηγούμενος αλγόριθμος τερματίζει:
Γράψε "Ναι πάντα τερματίζει"
Απ' όσο θυμάμαι, το θεώρημα του τερματισμού λέει ότι δεν μπορεί να γίνει αυτό για όλους τους αλγορίθμους, αλλά φυσικά δεν μπορεί να σου αποκλείσει ότι κάποιος συγκεκριμένος αλγόριθμος πάντα τερματίζει, και έτσι δεν μπορείς να το χρησιμοποιήσεις για απαγωγή σε άτοπο με τη μορφή που το χρησιμοποίησες. Σωστά;
Τελικά μήπως στον υπολογιστή πρακτικά ασχολούμαστε μόνο με τους ρητούς (λόγω της πεπερασμένης αποθήκευσης);
Δεν νομίζω. Νομίζω ότι ασχολούμαστε με οτιδήποτε μπορούμε να αναπαραστήσουμε ψηφιακά.
Ας μην ξεχνάμε ότι και ο άρρητος "Ρίζα(3)" είναι πεπερασμένος σαν πληροφορία. Είναι ένα string από 7 chars. Δεν μας υποχρεώνει κανείς να τον μετατρέψουμε σε δεκαδικό αριθμό για να τον αποθηκεύσουμε στον υπολογιστή, μπορούμε π.χ. να τον αναπαραστήσουμε ως record: { function="Ρίζα", parameter="3" }.
Δεν έχω δουλέψει Matlab αλλά νομίζω ότι υποστηρίζει τέτοια πράγματα και έτσι μπορεί να κάνει πράξεις με ρίζες κλπ χωρίς να χάνεται καθόλου πληροφορία με στρογγυλοποιήσεις αριθμών. Είναι λίγο πρόκληση το πώς θα υλοποιηθούν όλα αυτά (π.χ. το τετράγωνο της ρίζας να δίνει τον αρχικό αριθμό χωρίς απώλειες) αλλά σίγουρα μπορούμε σε ορισμένες περιπτώσεις να ασχολούμαστε και με άρρητους, και με μιγαδικούς και με οτιδήποτε άλλο θέλουμε, χωρίς απώλεια στην πληροφορία και με πεπερασμένο χώρο αποθήκευσης.