Α) Θα βοηθούσε λίγο να θυμηθούμε ποιο είναι το πρόβλημα της επίλυσης 2θμιας εξίσωσης:
«Με γνωστούς τους συντελεστές ενός τριωνύμου, ποιες είναι οι ρίζες του;»
Ο αλγόριθμος που έχουμε για την επίλυση τριωνύμου λύνει το παραπάνω πρόβλημα. Εσύ παρουσιάζεις ένα τριώνυμο στο οποίο δεν γνωρίζουμε όλους τους συντελεστές. Δεν υπάρχει αλγόριθμος που να λύνει τριώνυμο χωρίς να ξέρουμε τους συντελεστές.
Β) Η απόδειξη που παρουσιάζεις στο λινκ είναι λάθος. Το πρώτο-πρώτο θεώρημα που παρουσιάζεις, δλδ
«Το πρόβλημα της ισότητας δύο πραγματικών σταθερών είναι μη-αποφασίσιμο (Θ1).»
είναι λάθος. Το σκεπτικό σου στηρίζεται στο ότι μια μηχανή δεν μπορεί να αναπαραστήσει/χειριστεί/αποθηκεύσει τους πραγματικούς αριθμούς (ούτε και τους ρητούς μπορεί, αλλά ούτε και τους ακέραιους). Είναι ο γνωστός κανόνας στον προγραμματισμό:
«Ποτέ μην ζητάτε από τον επεξεργαστή να ελέγξει ισότητα μεταξύ πραγματικών αριθμών. Ο έλεγχος θα επιστρέφει σχεδόν πάντα ΨΕΥΔΕΣ.»
Αυτό έχει να κάνει με τον τρόπο αναπαράστασης των πραγματικών αριθμών. Δεν είναι περιορισμός της μηχανής. Η μηχανή είναι αξεπέραστη στο να συγκρίνει αν δύο σύμβολα είναι ίσα, οπότε δεν μπορούμε να λέμε ότι η σύγκριση (του οτιδήποτε αναπαριστούν τα σύμβολα) είναι μη-αποφασίσιμο πρόβλημα.
Οι υπολογιστές δεν έχουν ιδέα από μαθηματικά. Χειρίζονται σύμβολα. Εμείς αποφασίζουμε τι αναπαριστούν τα σύμβολα, ποιες πράξεις γίνονται μεταξύ των συμβόλων και τι αποτέλεσμα δίνει η κάθε πράξη. Μπορούμε να αντιστοιχίσουμε το π σε ένα σύμβολο, να του μάθουμε να κάνει πράξεις με το π και να ζητάμε όποτε θέλουμε να συγκρίνει έναν οποιοδήποτε αριθμό με το π και να παίρνουμε το σωστό αποτέλεσμα, μεγαλύτερο, μικρότερο ή ίσο.
Δες πως κάνει πράξεις με πραγματικούς αριθμούς το Maxima (open source) ή το Mathematica (commercial). Ξέχνα λιγάκι την δυαδική αναπαράσταση των αριθμών και την αριθμητική επίλυση τύπων και εξισώσεων.
