Θέμα: Μηδέν στη μηδενική

[gbougioukas]

Έγραψα ένα άρθρο στο μπλόγκ μου σχετικά. Θα με ενδιέφερε η γνώμη σας τόσο όσον αφορά το άρθρο, όσο και για το θέμα γενικότερα.

Γενικά, θεωρώ ότι δεν υπάρχει τίποτα στα μαθηματικά (τουλάχιστον μέχρι τώρα) που να απαγορεύει τον ορισμό 0⁰=1. Αντίθετα, όλα τον υπαγορεύουν!

[gpapargi]

Για να συμφωνήσω με ένα τέτοιο ορισμό  θα ήθελα προσεγγίζοντας το 0^0 με συναρτήσεις να κάνει 1 και όχι 0. Δηλαδή αν πάρω 2 συναρτήσεις f και g που τείνουν και οι δυο στο 0, όταν το x τείνει σε κάποιο x0, θα ήθελα αυτό να κάνει 1 και όχι 0. Αλλιώς δε θα μου άρεσε ένας τέτοιος ορισμός.
Αν πάρω f(x)=e^(-1/x^4) και g(x)=x^2 και βρω το όριο καθώς το x τείνει στο 0 τότε και η f και η g τείνουν στο 0. Αλλά η f(x)^g(x) τείνει το 0 και όχι στο 1 (εκτός αν μου ξέφυγε κάτι). Άρα δε συμφωνώ.

[gbougioukas]

Για να συμφωνήσω με ένα τέτοιο ορισμό  θα ήθελα προσεγγίζοντας το 0^0 με συναρτήσεις να κάνει 1 και όχι 0. Δηλαδή αν πάρω 2 συναρτήσεις f και g που τείνουν και οι δυο στο 0, όταν το x τείνει σε κάποιο x0, θα ήθελα αυτό να κάνει 1 και όχι 0. Αλλιώς δε θα μου άρεσε ένας τέτοιος ορισμός.
Αν πάρω f(x)=e^(-1/x^4) και g(x)=x^2 και βρω το όριο καθώς το x τείνει στο 0 τότε και η f και η g τείνουν στο 0. Αλλά η f(x)^g(x) τείνει το 0 και όχι στο 1 (εκτός αν μου ξέφυγε κάτι). Άρα δε συμφωνώ.

Το "0⁰" είναι δύναμη με βάση την πραγματική σταθερή 0 και εκθέτη την πραγματική σταθερή 0, και όχι το όριο μιας δύναμης με βάση μια συνάρτηση του x και εκθέτη μια συνάρτηση του x, των οποίων το όριο είναι το 0 καθώς το x τείνει σε κάποιο x₀. Αυτή η εξίσωση που κάνεις (όχι μόνο εσύ δηλαδή) σημαίνει το παρακάτω (το οποίο ΔΕΝ ισχύει (γενικά), είτε ορίσεις 0⁰ = 1, είτε θεωρήσεις ότι δεν ορίζεται - πρόσεξε ότι με βάση την υπόθεση που κάναμε ότι το όριο των f(x), g(x) είναι το 0, το δεύτερο μέλος της ισότητας είναι δύναμη με βάση και εκθέτη την πραγματική σταθερή 0):



Το "0⁰" που εννοείς είναι μια μετα-μαθηματική ονομασία την οποία μπερδεύεις μετά με συντακτικά αντικείμενα. Είναι σαν ονομάζεις την "απροσδιόριστη μορφή 0⁰" ας πουμε "απροσδιόριστη μορφή 5" (γιατί είναι η πέμπτη πχ σε μια λίστα απροσδιόριστων μορφών) και να έρχεσαι μετά και να λες ότι δεν ορίζεται η πραγματική σταθερή 5 !
 

[gpapargi]

Δεν είπα πουθενά ότι το 0^0 είναι το όριο της f(x)^g(x) όταν η κάθε μια τείνει στο 0.  Το 0^0 δεν έχει νόημα με βάση τον ορισμό της δύναμης. Αν θέλουμε να έχει νόημα θα πρέπει να δώσουμε κάποιο ορισμό. Τι είναι αυτό που θα μας κάνει να το ορίσουμε σαν 1 ή 0 ή 2 ή οτιδήποτε; Προφανώς το να μη μας δημιουργεί κάποιο πρόβλημα αλλού. Θέλουμε να κάνουμε μια γενίκευση του ορισμού. Αυτό που είπα είναι ότι θα με χάλαγε ένας ορισμός 0^0=1 αν εγώ μπορούσα να βρω f,g που να τείνουν στο 0 και το f(x)^g(x) να τείνει στο 0.
Να το πω αλλιώς. Έστω η συνάρτηση h(x)=f(x)^g(x) όπου f και g οι συναρτήσεις που όρισα στο προηγούμενο μήνυμά μου. Η συνάρτηση h ορίζεται παντού εκτός από το 0. Θέλω  να την ορίσω και στο 0, να πω δηλαδή πόσο κάνει το h(0).
Ποια θα ήταν η λογική κίνηση; Να δώσω σαν τιμή στο 0 την τιμή του ορίου ώστε να έχω μια συνεχή συνάρτηση. Μπορώ αν θέλω να δώσω οτιδήποτε πχ h(0)=1000 αλλά δε θα είχα συνεχή συνάρτηση. Η λογική κίνηση είναι να δώσω σαν τιμή την τιμή του ορίου. Ορίζω λοιπόν h(0)=0 και «βουλώνω την τρύπα» στη γραφική παράσταση. Αν δε θέλω δεν την ορίζω στο 0. Δεν έχω καμιά υποχρέωση να το κάνω. Αλλά αν θέλω να την ορίσω θα τις έδινα την τιμή του ορίου για να δένει με τα υπόλοιπα.
Πίσω στο 0^0. Αν για κάθε f,g που τείνουν στο 0 έχω και το f(x)^g(x) να τείνει στο 1 τότε δε θα είχα πρόβλημα να ορίσω ότι 0^0 = 1. Ομοίως αν για κάθε f,g που τείνουν στο 0 η f(x)^g(x) τείνει πάντα στο 0, δε θα είχα πρόβλημα να θέσω 0^0=0. Αλλά αν άλλοτε το όριο είναι 0 και άλλοτε είναι 1, εγώ προσωπικά δε θέλω να ορίσω το 0^0 ούτε σαν 0 ούτε σαν 1.

[gbougioukas]

@gpapargi

Όπως σωστά είπες...οι ορισμοί δεν πρέπει να δημιουργούν προβλήματα αλλού. Ωστόσο, δεν ανέφερες κάποιο συγκεκριμένο πρόβλημα που δημιουργεί ο ορισμός 0⁰=1, εκτός από το ότι δεν "το θέλεις προσωπικά" ή "σε χαλάει". Δεν αμφιβάλλω ότι πρόκειται περί αυστηρά προσωπικής θέσης, μιας και δεν το γράφει πουθενά ότι ορίζουμε τις δυνάμεις πραγματικών σταθερών με βάση... την συνέχεια των συνάρτήσεων. Γεγονός είναι ότι ο ορισμός 0⁰=1 δεν δημιουργεί κάποιο τουλάχιστον γνωστό πρόβλημα, δηλαδή κάποια αντίφαση, όσον αφορά συγκεκριμένα την συνέχεια των συναρτήσεων ή και την ανάλυση γενικότερα - πέρα από τις όποιες προσωπικές αρέσκειες ή δυσαρέσκειες. Αντίθετα, ο μη-ορισμός δημιουργεί ένα πλήθος εξαιρέσεων συγκεκριμένα στην ανάλυση (άσε κατά μέρος τα μαθηματικά γενικότερα - αλήθεια τι γίνεται με το διωνυμικό θεώρημα;) χωρίς να υπάρχει κανένας απολύτως λόγος. Δες για παράδειγμα την (τζάμπα) εξαίρεση του n=1 από τον κανόνα παραγώγισης (xⁿ)' = nx^n-1 στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ' ΓΕΛ. Αν ίσχυε ο ορισμός 0⁰=1, θα είχαμε  (x¹) = 1x^1-1=x⁰=1, όπως έχουμε και χωρίς τον ορισμό 0⁰=1 και χωρίς να χρειάζεται να δώσουμε το ειδικό θεώρημα (x)'=1. Αν τα μαθηματικά λειτουργούσαν έτσι γενικότερα ("επειδή έτσι μ' αρέσει"), ο Wiles ακόμα εξαιρέσεις θα έγραφε. Ευτυχώς, δεν λειτουργούν έτσι.

[gpapargi]

Ναι είναι η προσωπική μου άποψη ότι δε θα ήθελα να οριστεί το 0^0=1 για το λόγο που ανέφερα. Αλλά και η αντίθετη άποψη, δηλαδή  ότι πρέπει να οριστεί ότι  0^0=1, είναι απλώς η δική σου προσωπική άποψη και όχι κάτι καθολικά αποδεκτό, κρίνοντας από το ότι δεν έχει γίνει ακόμα ο ορισμός που προτείνεις.
Κατά τη γνώμη μου, δεν είναι εδώ το μέρος για τέτοια συζήτηση. Καλύτερα να υποβάλεις τις απόψεις σου σε επιστημονικό έλεγχο σε κάποιο μαθηματικό περιοδικό. Επίσης το site www.mathematica.gr έχει καθαρά μαθηματικό αντικείμενο, με συμμετοχές και ακαδημαϊκών και πιστεύω ότι είναι το κατάλληλο  μέρος για τη συγκεκριμένη συζήτηση.

[gbougioukas]

@gpapargi

Θεωρώ αυτονόητο ότι εδώ είναι επιστημονικός χώρος όπου διεξάγεται συζήτηση μεταξύ επιστημόνων, με επιστημονικά κριτήρια. Αν δεν θεωρείς τον εαυτό σου επιστήμονα δεν καταλαβαίνω τον ρόλο σου εδώ, αλλά και στην συγκεκριμένη συζήτηση, όπου αφού πρώτα έκανες δύο ποστ, ύστερα με παρέπεμψες σε "επιστημονικό έλεγχο". Η "επίκληση αυθεντίας" είναι λογική πλάνη, και ως τέτοια είναι ενάντια στο επιστημονικό πνεύμα.

Το υπό συζήτηση θέμα δεν αφορά περισσότερο τους απόφοιτους μαθηματικών τμημάτων, διότι πολύ απλά θα ρωτήσει ο μαθητής τον καθηγητή πληροφορικό γιατί η Python δίνει 0**0 = 1 ή ο διερμηνευτής Γλώσσας 0^0= 1, ενώ η ανάλυση λέει ότι δεν ορίζεται; Τι γίνεται εκεί πέρα, θα του πεις, "κάτσε να ρωτήσουμε κανένα επιστήμονα";

Θεωρώ επίσης αυτονόητο ότι κάποιος που έχει σπουδάσει την επιστήμη της κατασκευής και των ιδιοτήτων του αυστηρά ορισμένου μαθηματικού αντικειμένου που λέγεται "πρόγραμμα" (διότι υπάρχει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία ανάμεσα σε κλάσεις ισοδυναμίας προγραμμάτων και σε κλάσεις ισοδυναμίας μ-Αναδρομικών συναρτήσεων, οι οποίες είναι αναπαραστίσιμες στην πρωτοβάθμια αριθμητική Peano), έχει (και απαιτείται να έχει) γενικότερα ένα υπόβαθρο στα μαθηματικά εξίσου ισχυρό με αυτό κάποιου αποφοίτου του τμήματος μαθηματικών, γεγονός που επιβεβαιώνεται τυπικά από τα προγράμματα σπουδών των τμημάτων πληροφορικής στην πλειονότητα των περιπτώσεων. 

[gpapargi]

Το αν στην ανάλυση ορίζεται το 0^0=1 είναι καθαρά θέμα μαθηματικών. Ακόμα κι αν μας έπειθες, δε βλέπω κάποια αξία σε αυτό.
Εσύ μιλάς για κάποια αλλαγή σε αυτό που ισχύει στα μαθηματικά. Αυτό δεν αποφασίζεται σε κάποιο forum, πόσο μάλλον αν αυτό είναι πληροφορικής. Γιατί δεν κάνεις δημοσίευση σε κάποιο συνέδριο να σε δουν αυτοί που πρέπει;
Είναι σαν να προτείνω εγώ κάποιο άλλο ορισμό (πχ στη συνέχεια της συνάρτησης)  και αντί να το παρουσιάσω εκεί που πρέπει, που θα το δουν και θα το αξιολογήσουν αυτοί που πρέπει, να το παρουσιάσω εδώ. Ποιο το νόημα σε κάτι τέτοιο; Εδώ μπορεί να γίνει μια χαλαρή κουβέντα με επιχειρήματα. Μέχρι εκεί.
Αν πραγματικά θέλεις αλλαγή στο ορισμό η οδός είναι άλλη. Και πραγματικά δεν καταλαβαίνω γιατί δεν θέτεις το θέμα σε ένα αμιγώς μαθηματικό forum. Δεν είναι επίκληση στην αυθεντία αυτό. Δεν είπα «είναι έτσι επειδή το είπε ο τάδε επώνυμος». Σου είπα «μίλα με άτομα που είναι ο τομέας τους». Μπορεί πχ ο καθηγητής μαθηματικών  (και διακεκριμένος αναλύστας στο πανεπιστήμιο Κρήτης), Μιχάλης Λάμπρου που είναι μέλος και συντονιστής στο www.mathematica.gr  να σου δώσει μια οπτική και κάποια επιχειρήματα που δεν τα έχεις φανταστεί.
Δε θα έπρεπε εσύ από μόνος σου να επιδιώκεις μια τεχνική συζήτηση με τέτοια άτομα; Γιατί δεν απευθύνεσαι ΚΑΙ σε αυτούς που θα σου δώσουν την εγκυρότερη άποψη πάνω στο θέμα;

[gbougioukas]

Το αν στην ανάλυση ορίζεται το 0^0=1 είναι καθαρά θέμα μαθηματικών.

Δηλαδή το αν το 0⁰=1 ορίζεται στην python, στον διερμηνευτή Γλώσσας, στο Google calculator ή στο πρότυπο IEEE 754 (που φυσικά ορίζεται σ' όλα αυτά) τίνος θέμα είναι; Ή μήπως η python, ο διερμηνευτής Γλώσσας, το Google calculator και το πρότυπο IEEE 754 αγνοούν τα μαθηματικά και ορίζουν ό,τι γουστάρουν; Ή μήπως τελικά τα μαθηματικά είναι η ανάλυση;

[ozorgnax]

@gbougioukas Παρατηρώ ότι κάθε φορά που ανοίγεις ένα θέμα, αυτό θα οδηγηθεί με μαθηματική ακρίβεια (έπιασες το υπονοούμενο ε;) σε ειρωνείες, απαξίωση από μέρους σου προς τους συνομιλητές σου και απαρίθμηση των μαθηματικών σου γνώσεων. Ως εκ τούτου λοιπόν δε νομίζω ότι πραγματικά σε ενδιαφέρει η άποψη των μελών του φόρουμ, αλλά αποκλειστικά και μόνο η επιβεβαίωση του ανασφαλούς σου εγωισμού. Με μια λέξη κουράζεις.

[gbougioukas]

@ozorgnax

Επιχειρήματα ad hominem δεν έχουν θέση στον επιστημονικό διάλογο. Αν δε σε παίρνει, μην ασχολείσαι, δεν είσαι υποχρεωμένος.

[bugman]

http://www.askamathematician.com/2010/12/q-what-does-00-zero-raised-to-the-zeroth-power-equal-why-do-mathematicians-and-high-school-teachers-disagree/λ

Ωραίο άρθρο....


Να προσθέσω μόνο ότι η ύψωση σε δύναμη είναι μια επαναληπτική διαδικασία που ξεκινάει με αρχική τιμή 1, και όταν η δύναμη είναι 0, έχουμε απουσία επανάληψης άρα παραμένει η αρχική τιμή 1.

[gpapargi]

Δηλαδή το αν το 0⁰=1 ορίζεται στην python, στον διερμηνευτή Γλώσσας, στο Google calculator ή στο πρότυπο IEEE 754 (που φυσικά ορίζεται σ' όλα αυτά) τίνος θέμα είναι; Ή μήπως η python, ο διερμηνευτής Γλώσσας, το Google calculator και το πρότυπο IEEE 754 αγνοούν τα μαθηματικά και ορίζουν ό,τι γουστάρουν;

Είναι επιθυμητό αλλά όχι απόλυτα δεσμευτικό για ένα προγραμματιστικό περιβάλλον να είναι απόλυτα συμβατό με τα μαθηματικά. Για παράδειγμα, πριν από μερικά χρόνια για να δούμε πως θα οριστεί το ακέραιο μέρος στο Διερμηνευτή κάναμε ψηφοφορία.
https://alkisg.mysch.gr/steki/index.php?topic=928.0
Κάποιοι ψήφισαν όπως στα μαθηματικά, κάποιοι όπως σε κάποιες γλώσσες. Και μόνο η ύπαρξη ψηφοφορίας ενώ κάποια στιγμή είδαμε τι λένε τα μαθηματικά δείχνει αυτό που σου λέω: ότι είναι επιθυμητό αλλά όχι απόλυτα δεσμευτικό. Μπορεί κάποια γλώσσα να το υλοποιήσει αλλιώς γιατί είναι πιο βολικό.

Ή μήπως τελικά τα μαθηματικά είναι η ανάλυση;

Η ανάλυση, η άλγεβρα η γεωμετρία… γενικώς τα μαθηματικά. Δεν μπορείς να πεις ότι πρέπει να οριστεί ότι 0^0=1 επειδή έτσι το κάνει πχ η python. Θα πρέπει να πείσεις τη μαθηματική κοινότητα για αυτό. Πώς να το κάνουμε;

[gbougioukas]

Είναι επιθυμητό αλλά όχι απόλυτα δεσμευτικό για ένα προγραμματιστικό περιβάλλον να είναι απόλυτα συμβατό με τα μαθηματικά. Για παράδειγμα, πριν από μερικά χρόνια για να δούμε πως θα οριστεί το ακέραιο μέρος στο Διερμηνευτή κάναμε ψηφοφορία.
https://alkisg.mysch.gr/steki/index.php?topic=928.0
Κάποιοι ψήφισαν όπως στα μαθηματικά, κάποιοι όπως σε κάποιες γλώσσες. Και μόνο η ύπαρξη ψηφοφορίας ενώ κάποια στιγμή είδαμε τι λένε τα μαθηματικά δείχνει αυτό που σου λέω: ότι είναι επιθυμητό αλλά όχι απόλυτα δεσμευτικό. Μπορεί κάποια γλώσσα να το υλοποιήσει αλλιώς γιατί είναι πιο βολικό.

Εύλογο το επιχείρημά σου, πλην όμως υπάρχουν δύο αποφασιστικές διαφορές ανάμεσα σε μια δύναμη με βάση και εκθέτη πραγματικές (και μάλιστα φυσικές) σταθερές (0⁰) και στην συνάρτηση του ακέραιου μέρους:

α) Μια δύναμη με βάση και εκθέτη φυσικές σταθερές είναι περισσότερο "θεμελιώδης/στοιχειώδης" από την συνάρτηση ακέραιο μέρος.

Το "θεμελιώδης/στοιχειώδης" έχει καθαρά ποσοτικό χαρακτήρα. Πόσες φορές κατά μέσο όρο γενικότερα σχετικά με τα μαθηματικά όλων των βαθμίδων και κλάδων χρησιμοποιείται η συνάρτηση ακέραιο μέρος και πόσες μια δύναμη με βάση και εκθέτη μια φυσική σταθερή; Ήδη από την 6η Δημοτικού ο μαθητής έρχεται σε επαφή με δυνάμεις φυσικών αριθμών και επομένως με κάτι τέτοιο:

0⁰+4

Δεν μπορεί λοιπόν κάτι εξίσου στοιχειώδες όσο το κομπιουτεράκι ή το κομπιουτεράκι του Google να δίνει 5 και να έρχεται η ανάλυση 1-2 χρόνια μετά και να λέει ότι δεν ορίζεται. Αυτό το παράδοξο δεν μπορεί να συμβαίνει και η εκτίμησή μου είναι ότι δεν θα συμβαίνει για πολύ ακόμα.

β) Το πως θα οριστεί η συνάρτηση ακέραιο μέρος είναι ανεξάρτητο από το πόσες εξαιρέσεις και συνεπαγόμενα πόσα θεωρήματα θα έχεις μέσα σε μια μαθηματική θεωρία, ενώ το αν θα οριστεί η δύναμη 0⁰ δεν είναι.

Ήδη, στο άρθρο μου παραθέτω εντελώς ενδεικτικά δύο "τζάμπα" εξαιρέσεις από τα μαθηματικά προσανατολισμού Γ' ΓΕΛ οι οποίες δημιουργούνται από τον μη-ορισμό 0⁰ (=1) μέσα σ' αυτήν την ίδια την ανάλυση, χωρίς ο ορισμός αυτός να δημιουργεί κανένα πρόβλημα, που θα πει "αντίφαση", ούτε στην ανάλυση ούτε πουθενά (τουλάχιστον όχι γνωστό πρόβλημα, το ίδιο όμως ισχύει και για το 2⁰ ή το 2²). Είναι παράλογο να φορτώνεις οποιαδήποτε μαθηματική θεωρία με εξαιρέσεις χωρίς να υπάρχει κανένας απολύτως λόγος. Η λίστα με τις τζάμπα εξαιρέσεις εξαιτίας ειδικά αυτού του μη-ορισμού δεν περιορίζεται σ' αυτά τα δύο ενδεικτικά παραδείγματα, αλλά θα μπορούσε να εμπλουτιστεί με πολλά περισσότερα. Αμέσως-αμέσως, αν ορίσουμε 0⁰=1, ο βαθμός του σταθερού πολυωνύμου (συμπεριλαμβανομένου του μηδενικού) μπορεί να είναι άνετα 0, χωρίς κανένα πρόβλημα και με λιγότερες εξαιρέσεις!
Το α) παραπάνω είναι σοβαρό πρόβλημα, το β) είναι επιχείρημα προς την λύση του προβλήματος. Είναι μαθηματικό-λογικό επιχείρημα, και όχι αρέσκεια, σημαίνει περισσότερο αποκρυσταλλωμένα:

1. Λιγότερες εξαιρέσεις
2. Περισσότερα θεωρήματα
3. Καμία γνωστή αντίφαση

Η απόφαση της Google να δίνει το κομπιουτεράκι της μηχανής αναζήτησης 0⁰ = 1 προφανώς έχει να κάνει με κάποιο σχετικό με το παραπάνω ή άλλο καθαρά μαθηματικό επιχείρημα, και δεν σχετίζεται με το...πως βολεύει προγραμματιστικά τους προγραμματιστές της.

Δεν μπορείς να πεις ότι πρέπει να οριστεί ότι 0^0=1 επειδή έτσι το κάνει πχ η python. Θα πρέπει να πείσεις τη μαθηματική κοινότητα για αυτό. Πώς να το κάνουμε;

Προφανώς και εδώ όπως και με το κομπιουτεράκι της Google είναι αντίστροφα τα πράγματα. Υπάρχει μαθηματικό επιχείρημα πίσω από την επιλογή. Φυσικά αυτή η μαθηματική "κοινότητα" δεν υπάρχει προς το παρόν, κυρίως όμως με την εξαίρεση ενός μόνο μαθηματικού κλάδου, αυτού της ανάλυσης. Να σου πω εδώ μια ιστορία:

Ήταν κάποτε μια επιστήμη που την έλεγαν μαθηματικά. Στις αρχές του 20ου αιώνα ο μαθηματικός Skolem εισήγαγε ένα εξωτικό (τότε) μαθηματικό αντικείμενο τις "πρωτόγονες αναδρομικές συναρτήσεις", δηλαδή κάποιες συναρτήσεις από τους φυσικούς αριθμούς στους φυσικούς αριθμούς ικανές να υπολογίζουν ό,τι ακριβώς και ο διερμηνευτής της Γλώσσας χωρίς τις δομές επανάληψης ΟΣΟ... και ΜΕΧΡΙΣ_ΟΤΟΥ... Λίγο αργότερα, οι συναρτήσεις αυτές εμπλουτίστηκαν με μια επιπλέον κλάση και το σύνολο που προέκυψε ονομάστηκε μ-Αναδρομικές συναρτήσεις. Οι τελευταίες υπολογίζουν ό,τι ακριβώς και ο διερμηνευτής της Γλώσσας, και αποτελούν θεμελιώδες κομμάτι της απόδειξης των θεωρημάτων μη-πληρότητας του Γκέντελ.

Λίγα χρόνια μετά ο μαθηματικός Τούρινγκ εισήγαγε ένα σύνολο μαθηματικών αντικείμενων γνωστών ως μηχανές Turing το οποίο υπολογίζει ό,τι ακριβώς και οι μ-Αναδρομικές συναρτήσεις, δηλαδή ό,τι και ένας σύγχρονος ηλεκτρονικός υπολογιστής. Ένας νέος κλάδος των μαθηματικών γεννήθηκε. Αυτός ο κλάδος θα ήταν κάτι ασήμαντο σήμερα, πιθανώς θέμα μόνο κάποιας εξωτικής διδακτορικής διατριβής του μαθηματικού τμήματος, αν δεν είχε εφευρεθεί και υλικά μια μηχανή που να προσoμοιώνει την μηχανή Turing. Όπως όμως ξέρουμε, αυτή η υλική μηχανή εφευρέθηκε και είναι πανταχού παρούσα στο σύνολο της κοινωνικής ζωής (ubiquitous computing).

Όπως ήταν αναμένομενο ο νέος αυτός κλάδος των μαθηματικών αυτονομήθηκε και απόκτησε το δικό του ειδικό όνομα: "πληροφορική". Όπως, συμβαίνει με κάθε μαθηματικό αντικείμενο, για να μελετήσεις επισταμένα τις ιδιότητές του και να μπορείς να το κατασκευάζεις με συνέπεια όποτε απαιτείται, χρειάζεσαι ένα μεγάλο μέρος του συνόλου του μαθηματικού οπλοστασίου. Αυτή είναι και η τυπική περίπτωση των προγραμμάτων σπουδών πληροφορικής. Εξάλλου, και τα τμήματα μαθηματικών δεν διδάσκουν το σύνολο της επιστήμης των μαθηματικών, αλλά μόνο ένα μέρος τους. Επομένως, το τι θα οριστεί και τι δεν θα οριστεί στα μαθηματικά είναι θέμα της μαθηματικής κοινότητας αν και μόνο αν σ' αυτήν συμπεριλαμβάνεται και η πληροφορική. Αν την επιστήμη των μαθηματικών την κρίνεις από την επωνυμία του ακαδημαϊκού τμήματος, τότε το τι θα οριστεί και τι δεν θα οριστεί στα μαθηματικά είναι θέμα της "μαθηματικής" και της "πληροφορικής" κοινότητας. Υπενθυμίζω, σχετικά, ότι τα "διακριτά μαθηματικά" κατατάσσονται διεθνώς και τυπικά στον κλάδο της πληροφορικής.

Στην παρακάτω διάλεξη, ο πληροφορικός Χρήστος Παπαδημητρίου (τιμημένος με το βραβείο Gödel) εξηγεί γιατί "η πληροφορική είναι τα νέα μαθηματικά"

https://vimeo.com/25446513

Ξεχωρίζει, στην παραπάνω διάλεξη, η διαπίστωση ότι ένα από τα μεγαλύτερα  ανοιχτά προβλήματα των "μαθηματικών" σήμερα (αν όχι το μεγαλύτερο)  είναι ένα πρόβλημα "πληροφορικής": το πρόβλημα P vs NP

[gpapargi]

Διαφωνώ με πολλά από όσα γράφεις. Πχ το παρακάτω που αναφέρεσαι στο 4+0^0 βγάζει μάτι

Δεν μπορεί λοιπόν κάτι εξίσου στοιχειώδες όσο το κομπιουτεράκι ή το κομπιουτεράκι του Google να δίνει 5 και να έρχεται η ανάλυση 1-2 χρόνια μετά και να λέει ότι δεν ορίζεται.

Αλλοίμονο αν το κομπιουτεράκι του google, ήταν πιο θεμελιώδες από τη μαθηματική ανάλυση! Το 0^0 είναι θέμα συζήτησης από την εποχή του Euler. Είναι δυνατόν η ανάλυση να  έρχεται 1-2 χρόνια μετά το κομπιουτεράκι του Google!?!?!?!
Αλλά αν τα πιάσουμε ένα ένα η συζήτηση θα γίνει φιλοσοφική.
Μια διευκρινιστική ερώτηση θα ήθελα να κάνω μόνο: ποια η στάση σου απέναντι στους μαθηματικούς (ως προς το πτυχίο); Σκοπεύεις να τους πείσεις ή να τους παρακάμψεις;