Είναι επιθυμητό αλλά όχι απόλυτα δεσμευτικό για ένα προγραμματιστικό περιβάλλον να είναι απόλυτα συμβατό με τα μαθηματικά. Για παράδειγμα, πριν από μερικά χρόνια για να δούμε πως θα οριστεί το ακέραιο μέρος στο Διερμηνευτή κάναμε ψηφοφορία.
https://alkisg.mysch.gr/steki/index.php?topic=928.0
Κάποιοι ψήφισαν όπως στα μαθηματικά, κάποιοι όπως σε κάποιες γλώσσες. Και μόνο η ύπαρξη ψηφοφορίας ενώ κάποια στιγμή είδαμε τι λένε τα μαθηματικά δείχνει αυτό που σου λέω: ότι είναι επιθυμητό αλλά όχι απόλυτα δεσμευτικό. Μπορεί κάποια γλώσσα να το υλοποιήσει αλλιώς γιατί είναι πιο βολικό.
Εύλογο το επιχείρημά σου, πλην όμως υπάρχουν δύο αποφασιστικές διαφορές ανάμεσα σε μια δύναμη με βάση και εκθέτη πραγματικές (και μάλιστα φυσικές) σταθερές (0
0) και στην συνάρτηση του ακέραιου μέρους:
α) Μια δύναμη με βάση και εκθέτη φυσικές σταθερές είναι περισσότερο "θεμελιώδης/στοιχειώδης" από την συνάρτηση ακέραιο μέρος.Το "θεμελιώδης/στοιχειώδης" έχει καθαρά ποσοτικό χαρακτήρα. Πόσες φορές κατά μέσο όρο γενικότερα σχετικά με τα μαθηματικά όλων των βαθμίδων και κλάδων χρησιμοποιείται η συνάρτηση ακέραιο μέρος και πόσες μια δύναμη με βάση και εκθέτη μια φυσική σταθερή; Ήδη από την 6η Δημοτικού ο μαθητής έρχεται σε επαφή με δυνάμεις φυσικών αριθμών και επομένως με κάτι τέτοιο:
0
0+4
Δεν μπορεί λοιπόν κάτι εξίσου στοιχειώδες όσο το κομπιουτεράκι ή το κομπιουτεράκι του Google να δίνει 5 και να έρχεται η ανάλυση 1-2 χρόνια μετά και να λέει ότι δεν ορίζεται. Αυτό το παράδοξο δεν μπορεί να συμβαίνει και η εκτίμησή μου είναι ότι δεν θα συμβαίνει για πολύ ακόμα.
β) Το πως θα οριστεί η συνάρτηση ακέραιο μέρος είναι ανεξάρτητο από το πόσες εξαιρέσεις και συνεπαγόμενα πόσα θεωρήματα θα έχεις μέσα σε μια μαθηματική θεωρία, ενώ το αν θα οριστεί η δύναμη 00 δεν είναι.Ήδη, στο
άρθρο μου παραθέτω εντελώς ενδεικτικά δύο "τζάμπα" εξαιρέσεις από τα μαθηματικά προσανατολισμού Γ' ΓΕΛ οι οποίες δημιουργούνται από τον μη-ορισμό 0
0 (=1) μέσα σ' αυτήν την ίδια την ανάλυση, χωρίς ο ορισμός αυτός να δημιουργεί κανένα πρόβλημα, που θα πει "αντίφαση", ούτε στην ανάλυση ούτε πουθενά (τουλάχιστον όχι γνωστό πρόβλημα, το ίδιο όμως ισχύει και για το 2
0 ή το 2
2). Είναι παράλογο να φορτώνεις οποιαδήποτε μαθηματική θεωρία με εξαιρέσεις χωρίς να υπάρχει κανένας απολύτως λόγος. Η λίστα με τις τζάμπα εξαιρέσεις εξαιτίας ειδικά αυτού του μη-ορισμού δεν περιορίζεται σ' αυτά τα δύο ενδεικτικά παραδείγματα, αλλά θα μπορούσε να εμπλουτιστεί με πολλά περισσότερα. Αμέσως-αμέσως, αν ορίσουμε 0
0=1, ο βαθμός του σταθερού πολυωνύμου (συμπεριλαμβανομένου του μηδενικού) μπορεί να είναι άνετα 0, χωρίς κανένα πρόβλημα και με λιγότερες εξαιρέσεις!
Το α) παραπάνω είναι σοβαρό πρόβλημα, το β) είναι επιχείρημα προς την λύση του προβλήματος. Είναι μαθηματικό-λογικό επιχείρημα, και όχι αρέσκεια, σημαίνει περισσότερο αποκρυσταλλωμένα:
1. Λιγότερες εξαιρέσεις
2. Περισσότερα θεωρήματα
3. Καμία γνωστή αντίφασηΗ απόφαση της Google να δίνει το κομπιουτεράκι της μηχανής αναζήτησης 00 = 1 προφανώς έχει να κάνει με κάποιο σχετικό με το παραπάνω ή άλλο καθαρά μαθηματικό επιχείρημα, και δεν σχετίζεται με το...πως βολεύει προγραμματιστικά τους προγραμματιστές της.Δεν μπορείς να πεις ότι πρέπει να οριστεί ότι 0^0=1 επειδή έτσι το κάνει πχ η python. Θα πρέπει να πείσεις τη μαθηματική κοινότητα για αυτό. Πώς να το κάνουμε;
Προφανώς και εδώ όπως και με το κομπιουτεράκι της Google είναι αντίστροφα τα πράγματα. Υπάρχει μαθηματικό επιχείρημα πίσω από την επιλογή. Φυσικά αυτή η μαθηματική "κοινότητα" δεν υπάρχει προς το παρόν, κυρίως όμως με την εξαίρεση ενός μόνο μαθηματικού κλάδου, αυτού της ανάλυσης. Να σου πω εδώ μια ιστορία:
Ήταν κάποτε μια επιστήμη που την έλεγαν μαθηματικά. Στις αρχές του 20ου αιώνα ο μαθηματικός Skolem εισήγαγε ένα εξωτικό (τότε) μαθηματικό αντικείμενο τις "πρωτόγονες αναδρομικές συναρτήσεις", δηλαδή κάποιες συναρτήσεις από τους φυσικούς αριθμούς στους φυσικούς αριθμούς ικανές να υπολογίζουν ό,τι ακριβώς και ο διερμηνευτής της Γλώσσας χωρίς τις δομές επανάληψης ΟΣΟ... και ΜΕΧΡΙΣ_ΟΤΟΥ... Λίγο αργότερα, οι συναρτήσεις αυτές εμπλουτίστηκαν με μια επιπλέον κλάση και το σύνολο που προέκυψε ονομάστηκε μ-Αναδρομικές συναρτήσεις. Οι τελευταίες υπολογίζουν ό,τι ακριβώς και ο διερμηνευτής της Γλώσσας, και αποτελούν θεμελιώδες κομμάτι της απόδειξης των θεωρημάτων μη-πληρότητας του Γκέντελ.
Λίγα χρόνια μετά ο μαθηματικός Τούρινγκ εισήγαγε ένα σύνολο μαθηματικών αντικείμενων γνωστών ως μηχανές Turing το οποίο υπολογίζει ό,τι ακριβώς και οι μ-Αναδρομικές συναρτήσεις, δηλαδή ό,τι και ένας σύγχρονος ηλεκτρονικός υπολογιστής. Ένας νέος κλάδος των μαθηματικών γεννήθηκε. Αυτός ο κλάδος θα ήταν κάτι ασήμαντο σήμερα, πιθανώς θέμα μόνο κάποιας εξωτικής διδακτορικής διατριβής του μαθηματικού τμήματος, αν δεν είχε εφευρεθεί και υλικά μια μηχανή που να προσoμοιώνει την μηχανή Turing. Όπως όμως ξέρουμε, αυτή η υλική μηχανή εφευρέθηκε και είναι πανταχού παρούσα στο σύνολο της κοινωνικής ζωής (
ubiquitous computing).
Όπως ήταν αναμένομενο ο νέος αυτός κλάδος των μαθηματικών αυτονομήθηκε και απόκτησε το δικό του ειδικό όνομα: "πληροφορική". Όπως, συμβαίνει με κάθε μαθηματικό αντικείμενο, για να μελετήσεις επισταμένα τις ιδιότητές του και να μπορείς να το κατασκευάζεις με συνέπεια όποτε απαιτείται, χρειάζεσαι ένα μεγάλο μέρος του συνόλου του μαθηματικού οπλοστασίου. Αυτή είναι και η τυπική περίπτωση των προγραμμάτων σπουδών πληροφορικής. Εξάλλου, και τα τμήματα μαθηματικών δεν διδάσκουν το σύνολο της επιστήμης των μαθηματικών, αλλά μόνο ένα μέρος τους. Επομένως, το τι θα οριστεί και τι δεν θα οριστεί στα μαθηματικά είναι θέμα της μαθηματικής κοινότητας αν και μόνο αν σ' αυτήν συμπεριλαμβάνεται και η πληροφορική.
Αν την επιστήμη των μαθηματικών την κρίνεις από την επωνυμία του ακαδημαϊκού τμήματος, τότε το τι θα οριστεί και τι δεν θα οριστεί στα μαθηματικά είναι θέμα της "μαθηματικής" και της "πληροφορικής" κοινότητας. Υπενθυμίζω, σχετικά, ότι τα "διακριτά μαθηματικά" κατατάσσονται διεθνώς και τυπικά στον κλάδο της πληροφορικής.
Στην παρακάτω διάλεξη, ο πληροφορικός Χρήστος Παπαδημητρίου (τιμημένος με το βραβείο Gödel) εξηγεί γιατί "
η πληροφορική είναι τα νέα μαθηματικά"
https://vimeo.com/25446513Ξεχωρίζει, στην παραπάνω διάλεξη, η διαπίστωση ότι ένα από τα μεγαλύτερα ανοιχτά προβλήματα των "μαθηματικών" σήμερα (αν όχι το μεγαλύτερο) είναι ένα πρόβλημα "πληροφορικής": το πρόβλημα P vs NP