Θέμα: Χρήση του τελεστή DIV σε αριθμητικές εκφράσεις

[Sergio]

Σε μία άσκηση που έδωσα πρόσφατα στο σχολείο είχα μία πολύ ενδιαφέρουσα απάντηση από μαθητή.

Η άσκηση, μεταξύ άλλων, ζητούσε να υπολογίζεται η σειρά στην οποία βρίσκεται η θέση ενός λεωφορείου αν κάθε σειρά αποτελείται από 4 θέσεις.

Στόχος της άσκησης ήταν η εξοικείωση των μαθητών με τη χρήση του τελεστή DIV.

Η προφανής (για τους μαθητές) αρχική προσέγγιση αφού κατανόησαν ότι η άσκηση αφορά 4άδες θέσεων ανά σειρά ήταν:
 Σειρά <-- θεση DIV 4
η οποία όμως δεν είναι απόλυτα σωστή αφού δίνει τις παρακάτω τιμές:
Θέση Σειρά
1                       0
2                       0
3                       0
4                       1
5                       1
6                       1
7                       1
8                       2 κ.ο.κ.
δηλαδή εναλλαγή ανά τετράδες μεν, όχι όμως τη σωστή.  Με αρκετή σκέψη κάποιοι μαθητές κατέληξαν στο:

 Σειρά <-- (θέση-1) DIV 4 + 1

και άλλοι στο, περιγραφικότερο:

 Σειρά <-- θέση DIV 4
 Αν θέση MOD 4 <> 0 ΤΟΤΕ
   Σειρά <-- Σειρά + 1
 Τελος_αν

Δέχτηκα όμως και την εξής λύση:

Σειρά <-- θέση / 4
Αν Σειρά <> θέση DIV 4 ΤΟΤΕ
 Σειρά <-- θέση DIV 4 + 1
Τελος_αν

Ποια είναι η γνώμη σας;

[gpapargi]

Καλημέρα

Εγώ θα την έλυνα ως εξής:

Θεωρούμε ότι το σχήμα είναι το

1 2 3 4  σειρά 1
5 6 7 8  σειρά 2
.
.
κλπ

Το πρόβλημα είναι ότι η αρίθμηση αρχίζει από το 1 (ένα) και όχι από το 0 (μηδέν). Ας

υποθέσουμε για λίγο ότι η αρίθμηση ξεκινάει από το 0 τόσο για  τις θέσεις όσο και για τις

γραμμές. Έχουμε λοιπόν το σχήμα

0 1 2 3  σειρά 0
4 5 6 7  σειρά 1
.
.
κλπ

Σε αυτή την περίπτωση ένα απλό

σ = θ DIV 4 (σχέση 1)

θα ήταν  αρκετό (όπου θ και σ η θέση και η σειρά αντίστοιχα με αρίθμηση από το 0).

Αυτό είναι προφανές ότι ισχύει γιατί στην πρώτη γραμμή υπάρχουν (σα θέσεις) όλοι οι φυσικοί αριθμοί που αν διαιρεθούν με το 4 δίνουν πηλίκο 0 και άρα ανήκουν στη σειρά 0. Ομοίως στην δεύτερη γραμμή ανήκουν οι αριθμοί που οι αριθμοί που αν διαιρεθούν με το 4 δίνουν πηλίκο 1 και άρα ανήκουν στη σειρά 1 κλπ.

Επειδή όμως η αρίθμηση ξεκινάει από το 1 θέλουμε ένα μικρό "μετασχηματισμό αξόνων"

θέση = θ + 1 δηλαδή θ = θέση -1     (σχέση 2)
σειρά = σ + 1 δηλαδή σ = σειρά - 1 (σχέση 3)

όπου "θέση" και "σειρά" η θέση και η σειρά με αρίθμηση από το 1.

Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (2) και (3) στην (1) έχουμε

σειρά - 1 = (θέση -1) DIV 4
η οποία γίνεται ισοδύναμα

σειρά = (θέση -1) DIV 4 + 1

Η παραπάνω σκέψη αποτελεί κατά τη γνώμη μου μια επαρκή τεκμηρίωση για το ότι η συγκεκριμένη λύση είναι σωστή.

Προφανώς θα υπάρχουν κι άλλες σχέσεις που δίνουν σωστό αποτέλεσμα αλλά δεν ξέρω αν είναι πάντα εύκολο να συνοδευτούν από κάποια αντίστοιχη τεκμηρίωση.

[Παναγιώτης Τσιωτάκης]

  Σειρά <-- θέση div 4  ! Μετακινήσου σε ολόκληρες σειρές (τετράδες καθισμάτων)
 Αν θέση MOD 4 <> 0 τότε ! αν υπάρχει υπόλοιπο
   Σειρά <-- Σειρά + 1 ! μετακινήσου άλλη μια σειρά
 Τελος_αν

Έτσι σκεφτόμουν περπατώντας στο λεωφορείο για να κάτσω

[Sergio]

Οι δύο λύσεις που περιγράψατε είναι ασφαλώς σωστές, η μία «μαθηματικότερη» από την άλλη αλλά και οι δύο, πιστεύω, αξίζει τον κόπο να παρουσιαστούν στην τάξη.  

Προσωπικά παρουσίασα τη λύση που τεκμηρίωσε και ο Γιώργος, ενώ αργότερα σκέφτηκα και τη λύση που σχολίασε και ο Παναγιώτης και η οποία μου φαίνεται κοντύτερα στη σκέψη των μαθητών

Όμως θα ήθελα να δούμε και να σχολιάσουμε και τη λύση του μαθητή:

Σειρά <-- θέση / 4
Αν Σειρά <> θέση DIV 4 ΤΟΤΕ
 Σειρά <-- θέση DIV 4 + 1
Τελος_αν


Η λύση αυτή μοιάζει με τη λύση που παρουσιάζει και ο Παναγιώτης αλλά «ανακατεύει» ακέραια και «κανονική» διαίρεση σε ένα συλλογισμό που νομίζω αξίζει να «συζητήσουμε».  Βέβαια με λίγο μαγειρική τύπων, «παίζει» και σε προγραμματιστικό περιβάλλον, αρκεί να δηλώσουμε τη θέση ακέραια και τη σειρά πραγματική (ενώ θα «προτιμούσα» και τις δύο ακέραιες) όμως χρειάζεται ( ;;; ), για τους μαθητές, τόση τυπικότητα;

Ποια είναι, λοιπόν, η γνώμη σας για τη λύση του μαθητή:


Σωστή; (Αλγοριθμικά / Τυπικά)

Προτεινόμενη;

[gpapargi]

Θα προτιμούσα το ακέραιο μέρος της πραγματικής διαίρεσης αντί για το πηλίκο της ακέραιας αφού η διαίρεση έχει ήδη γίνει. Νομίζω ότι είναι πιο κοντά σε αυτό που σκέφτεται ο μαθητής.

[Παναγιώτης Τσιωτάκης]

Τι μαθητές έχεις ρε Σέργιο; Μετακομίζω και έρχομαι πάνω  

Αυτό που προσπαθώ να περάσω γενικότερα με τα γραφόμενά μου είναι πως ο αλγόριθμος πρέπει να είναι η μεταφορά της σκέψης μας στο χαρτί με δομημένο τρόπο και επιτρεπτές εντολές

Εγώ στη θέση σου θα ρώταγα το μαθητή αν έπρεπε να επιλύσει μαθηματικά το πρόβλημα, θα εκτελούσε διαίρεση (τελεστής /) με δεκαδικά και στη συνέχεια θα την εκτελούσε ξανα ως ευκλείδια (τελεστής div); Τυπικά λύνει την άσκηση με ανορθόδοξο τρόπο (και μάλλον σωστό).

Κατά τα άλλα το παράδειγμά του είναι αλγοριθμικά σωστό (σε επίπεδο ψευδογλώσσας υπάρχει μόνο αριθμητικός τύπος δεδομένων και όχι ακέραιος ή πραγματικός).

Πρέπει να σκέφτεται πιο απλά (η ζωή είναι απλή, το ίδιο και η αλγόριθμοι) γιατί κάποια στιγμή αυτό που θα γράψει δεν είναι σωστό  :-/     ...

[bagelis]

Δοκίμασα την άσκηση σε μαθητές και οι περισσότεροι αντιλήφθηκαν ευκολότερα την ακόλουθη παραλλαγή του τρόπου του Παναγιώτη:
ΑΝ θέση MOD 4 = 0 TOTE
  σειρά <-- θέση DIV 4
ΑΛΛΙΩΣ
  σειρά <-- θέση DIV 4 + 1
ΤΕΛΟΣ_ΑΝ
Η πρώτη λύση ξένισε, ενώ το τελευταίο εγώ θα το εξέφραζα ως εξής:
ΑΝ θέση / 4 = Α_Μ(θέση/4) ΤΟΤΕ ...
το οποίο ενώ εμπεριέχει το ίδιο ακριβώς σκεπτικό δεν μπερδεύει τους μαθητές με τη χρήση και του τελεστή / και του τελεστή DIV. Βέβαια από την άλλη ούτε τους βοηθάει να ξεκαθαρίσουν τη διαφορά αυτή... Πάντως σαν τρόπος αν πραγματικά τον σκέφθηκε ο μαθητής μόνος του του αξίζουν συγχαρητήρια και φυσικά σαν βαθμολογία το άριστα γιατί επιτυγχάνει το στόχο ύπαρξης της ΑΕΠΠ. Τρόπος έκφρασης της σκέψης μας και οργάνωσή της και παρουσίασή της σε ένα συγκεκριμένο σύστημα κανόνων... Δυστυχώς όλοι μας (και πρώτος εγώ) μέσα στην αγωνία μας για τις εξετάσεις προσπαθούμε να τυποποιούμε πράγματα σε συγκεκριμένες φόρμες, χάνοντας την ελευθερία και φαντασία που απαιτεί ένα τέτοιο μάθημα. Δεν νομίζω βέβαια ότι μπορεί να γίνει αλλιώς, αλλά έρχονται καμμιά φορά τέτοιες λύσεις από μαθητές και το θυμόμαστε... Φυσικά λοιπόν και είναι σωστή σαν λύση, δεν θα την πρότεινα ποτέ σε μαθητές αλλά αυτό είναι και η σκλαβιά μου...