Σε επόμενή μου απορία:
Έχουμε έναν θετικό αριθμό πχ το 32 και υπολογίζουμε το άθροισμα των κύβων των ψηφίων του, δηλαδή 3^3 + 2^3 = 35
Έπειτα συνεχίζουμε την ίδια διαδικασία για το 35. Δηλαδή 3^3+5^3 = 27 + 125 = 152.
Έπειτα ξανασυνεχίζουμε με το 152 κλπ κλπ.
Υπάρχει περίπτωση να ξανασυναντήσουμε τον αρχικό αριθμό 32 βρίσκοντας τα αθροίσματα των κύβων των ψηφίων των νέων αριθμών που προκύπτουν; Αν ναι αυτό γίνεται με όλους τους θετικούς αριθμούς;
Έχω κάνει κάποια προσέγγιση. Περιγράφω τις σκέψεις γιατί αυτές έχουν αξία και όχι τόσο το αποτέλεσμα
Επειδή υπάρχουν διψήφιοι που τελειώνουν σε 0 μπορούμε να βάλουμε και τους μονοψήφιους στο παιχνίδι γράφοντας τους με 0 στην αρχή. Δηλαδή το 20 και το 02 θα έχουν την ίδια εξέλιξη.
Παρατηρούμε ότι κάποιοι αριθμοί έχουν άθροισμα κύβων ψηφιών τριψήφιο ενώ άλλα διψήφιο. Αυτό δημιουργεί ένα ερώτημα που τελικά αποδείχτηκε πολύ κρίσιμο:
Υπάρχει κάποιο πλήθος ψηφίων τέτοιο ώστε το άθροισμα των κύβων των ψηφίων να έχει το ίδιο πλήθος; Για να το δούμε αυτό θα πρέπει να ελέγξουμε τον αριθμό που δίνει το μεγαλύτερο άθροισμα κύβων ψηφίων (δηλαδή αυτόν που έχει μόνο εννιάρια). Παρατηρούμε λοιπόν ότι: το 99 έχει άθροισμα κύβων ψηφίων 1458, άρα η διψήφιοι βγαίνουν εκτός των ορίων τους. Για τους τριψήφιους ισχύει ότι το 999 δίνει 2187 άρα και οι τριψήφιοι δεν είναι κλειστοί ως προς τη διαδικασία αθροίσματος κύβων ψηφίων. Για τους τετραψήφιους ισχύει ότι το 9999 δίνει 2916. Εδώ έχουμε την επιθυμητή
κλειστότητα.
Προκύπτει λοιπόν ένα πολύ κρίσιμο συμπέρασμα:
Κάθε τετραψήφιος έχει άθροισμα κύβων ψηφίων με λιγότερα από 5 ψηφία. Ο τετραψήφιος δίνει τετραψήφιο (έστω και συμπληρώνοντας μηδενικά από μπροστά). Επειδή λοιπόν οι αριθμοί κάτω του 10000 είναι πεπερασμένοι, αν επαναλαμβάνουμε συνεχώς τη διαδικασία αθροίσματος κύβων ψηφίων, το πολύ σε 10000 βήματα θα έχουμε επαναλήψεις. Το πρόβλημά μας λοιπόν είναι πεπερασμένο και διερευνάται πλήρως με 10000*10000 επαναλήψεις το πολύ. (δηλαδή 10000 το πολύ για κάθε αριθμό).Υπάρχει περίπτωση να έχουμε αριθμούς που να είναι ίσοι με το άθροισμα των κύβων των ψηφίων τους. Αυτοί θα λειτουργούν σαν
«καταβόθρες». Αν πέσεις σε αυτόν δε θα βγεις ποτέ. Υπάρχει περίπτωση να βρεις κύκλο από δίδυμους αριθμούς που ο ένας να σε παραπέμπει στον άλλο. Υπάρχει περίπτωση να βρεις και ομάδα 3,4 κλπ αριθμών που σε στέλνουν κυκλικά ο ένας στον άλλο και πάλι από την αρχή. Το σίγουρο είναι ότι αν πέσεις σε loop 1,2,3,4 κλπ αριθμών μετά δεν βγαίνεις από εκεί. Επίσης σίγουρο είναι ότι όλοι οι αριθμοί μέχρι το 10000 κάποια στιγμή θα πέσουν σε loop.
Μερικά δοκιμαστικά τρεξίματα έδωσαν κάποια ενδεικτικά συμπεράσματα.
Κάποιοι αριθμοί είναι καταβόθρες όπως ο 153. 1^3+5^3+3^3=153. Άλλη καταβόθρα είναι 407.
Loop 2 αριθμών είναι το ζευγάρι 919-1459. Ο ένας σε στέλνει στον άλλο και εγκλωβίζεσαι εκεί μέσα.
Loop 3 αριθμών είναι το 55-250-133. Ενδιαφέρον είναι ότι ο 55 είναι διψήφιος οπότε μπορείς είναι μια λύση στο αρχικό σου ερώτημα.Για την πλήρη λύση θέλεις πρόγραμμα. Αν και νομίζω ότι η ουσία είναι αυτή που σου έγραψα. Το πρόβλημα είναι πεπερασμένο και ο φυσικός του χώρος είναι οι τετραψήφιοι. Για πιο πολλά ψηφία τα πράγματα περιπλέκονται καθώς μπορεί να γυρίσεις στους τετραψήφιους και να μείνεις εκεί ή να βγεις έξω. Αλλά νομίζω ξεφεύγουμε.
