Θέμα: ΝΕΑ ΥΛΗ ΑΕΠΠ

[evry]

Πράγματι η συζήτηση είναι πολύ ενδιαφέρουσα για αυτό θα κάνω και εγώ ένα σύντομο σχόλιο
@alkisg
  Νομίζω ότι πρέπει να αυξήσεις λίγο το μέγιστο επιτρεπόμενο μέγεθος για τα μηνύματα γιατί μου πέταξε σφάλμα

   Στα σχολεία από τα οποία έχω περάσει (Ίλιον, Πετρούπολη, Μήλος) η κατανομή των μαθητών θα έλεγα ότι ήταν κανονική. Δηλαδή υπήρχαν όλες οι κατηγορίες μαθητών (αστέρια, άριστοι, καλοι, μέτριοι, κακοί κλπ). Τις έννοιες αυτές όμως τις ήξεραν όλοι, και αν ακόμα δεν τις είχαν καταλάβει πλήρως , επειδή τις είχαν ξανακούσει είχαν μια σχετική οικειότητα με αυτές. Αν τα παιδιά δεν ξέρουν τις έννοιες του ΜΚΔ, ΕΚΠ, του ημιτόνου και του συνημιτόνου, δεν φταίνε τα παιδιά αλλά οι μαθηματικοί που δεν τους έμαθαν αυτές τις έννοιες. (Αλήθεια στην Φυσική πως τις ξέρουν? στο μάθημά μας τις ξεχνάνε?) Δεν είναι δυνατόν μαθητής της Γ λυκείου και να μην ξέρει τι είναι ΜΚΔ. Μπορεί να το έχει ξεχάσει και να χρειαστεί να του το ξαναθυμίσουμε. Άλλωστε αυτό είναι πιο πολύ αριθμητική παρά μαθηματικά.
  Δεν είπε κανείς να μαθηματικοποιήσουμε πλήρως το μάθημα αλλά ας μην ξεχνάμε ότι οι αλγόριθμοι είναι μαθηματικά αντικείμενα και η μελέτη τους γίνεται με αρκετά προχωρημένα μαθηματικά εργαλεία. Έχουν δηλαδή μια μαθηματική φύση την οποία όσο και να προσπαθήσουμε δεν μπορούμε να την ακυρώσουμε. Οι ασκήσεις που προτείνει ο Γιώργος δεν είναι ξεκομμένες από το μάθημα. Ο υπολογισμός του ΜΚΔ και το κόσκινο του Ερατοσθένη είναι οι 2 πιο γνωστοί και ίσως αρχαιότεροι αλγόριθμοι. Αναφέρονται σε οποιοδήποτε εισαγωγικό μάθημα αλγορίθμων όχι μόνο εξαιτίας της τελειότητάς τους αλλά και επειδή μπορεί κάποιος να ξεκινήσει να τους εξηγεί με χαρτί και μολύβι και στη συνέχεια να προχωρήσει στον προγραμματισμό.

Πρόκειται για απλούς υπολογισμούς οι οποίοι προκαλούν την προσοχή πολλών μαθητών (αρκεί να ξέρουν πρόσθεση και αφαίρεση) και τους κάνουν να καταλάβουν ότι στο μάθημα αυτό κάνουμε κάτι πολύ περισσότερο από το να υπολογίζουμε τις μέσες θερμοκρασίες του μήνα και τις μηνιαίες εισπράξεις 10 κινηματογράφων.
   
  Σχετικά με το παραγοντικό τώρα δεν χρειάζεται να χρησιμοποιήσουμε τη λέξη αυτή ούτε το σύμβολο αν αυτό μας χαλάει. Φαντάζομαι όμως πως όλοι μετά την άσκηση "Υπολόγισε το άθροισμα 100 αριθμών με τη Για..από...μέχρι" ζητάμε "το γινόμενο όλων των αριθμών από 1 μέχρι Ν". Δε νομίζω ότι είναι και τόσο τρομερό. Όταν φτάσουμε στο παραγοντικό ο αλγόριθμος είναι έτοιμος, και τους εξηγούμε ότι το γινόμενο αυτό λέγεται έτσι και συμβολίζεται με το ! .
   Η ομορφιά των αλγορίθμων φαίνεται κυριώς μέσα από τους μαθηματικούς αλγόριθμους. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι ο πολλαπλασιασμός αλά ρωσικά το οποίο εντυπωσιάζει τους μαθητές κάθε χρόνο που το κάνω (αρκεί να προλάβω το φροντιστήριο).
  Τέλος η έννοια της σειράς στην αλγοριθμική έχει τεράστια σημασία γιατί με τον υπολογισμό σειρών όπως το e^x, cosx, sinx εισάγεις την έννοια της επαναληπτικής μεθόδου η οποία προσπαθεί να προσεγγίσει τον αριθμό που ψάχνεις. Αυτή είναι μια τόσο σημαντική έννοια που για χάρη της υπάρχει ολόκληρη περιοχή, η Αριθμητική Ανάλυση. Όταν μιλήσεις για την έννοια της επαναληπτικής μεθόδου που προσεγγίζει έναν αριθμό πρέπει να εξηγήσεις πότε αυτή θα τερματίσει, πότε δηλαδή θα έχουμε την επιθυμητή ακρίβεια. Εκεί λοιπόν μιλάς για ένα ε το οποίο εξετάζει τη διαφορά μεταξύ δύο διαδοχικών όρων της σειράς. Στην πραγματικότητα αυτό είναι το ίδιο (σχεδόν  )  ε που εμφανίζεται στον κριτήριο του Cauchy για σύγκλιση σειράς, μιλάς δηλαδή για όρια.
   Τα λέω αυτά για να δείξω πόσο αλληλένδετα είναι τα μαθηματικά και οι αλγόριθμοι. Το ένα δεν μπορεί να γίνει χωρίς το άλλο και ειδικά οι αλγόριθμοι χάνουν την ομορφιά τους και την κομψότητά τους δίχως τα μαθηματικά. Ο συμβολισμός του Σ για τη σειρά σε παραπέμπει αμέσως σε μια επανάληψη Για...από...μέχρι.

(έχει συνέχεια) ==>

[evry]

(συνέχεια από προηγούμενο)

   Το επιχείρημα του Βαγγέλη ότι το μάθημα κινδύνευε από τους μαθηματικούς είναι αλήθεια, δεν ισχύει όμως πλέον. Είμαστε πολλοί στην εκπαίδευση και δεν νομίζω ότι πλέον μπορούν να παίξουν τόσο εύκολα παιχνίδια στην πλάτη μας. Οπότε δεν νόμιζω ότι υπάρχει πλέον κίνδυνος να βάλουμε λίγα μαθηματικά στο μάθημα. Θα είναι υπέρ του μαθήματος και θα πείσει αρκετούς ότι το μάθημα δεν έχει επίκεντρο τον υπολογιστή αλλά βασίζεται σε ιδέες που υπήρχαν εδώ και 2000+ χρόνια.

[alkisg]

@evry: δυστυχώς δεν πρέπει να είναι του SMF η ρύθμιση, αλλά της php ή του apache μάλλον, το μέγιστο POST_SIZE.
Κάνε ένα report στο helpdesk, θα το κοιτάξω κι εγώ με την πρώτη ευκαιρία (ένας έπεσε με το αυτοκίνητο πάνω στο κυτίο του ΟΤΕ στην περιοχή μου, και για μερικές μέρες θα είμαι χωρίς internet... ).

[evry]

πλάκα έκανα ρε, μεταξύ σοβαρού και αστείου, προφανώς το μέγιστο POST SIZE είναι τόσο για κάποιον λόγο

[alkisg]

Όχι όχι σοβαρά είναι πρόβλημα, παλιότερα δούλευε με πολλαπλάσιο μέγεθος. Έχουν κάνει αλλαγές στην php, ίσως τη στήσανε εξ' αρχής, και υπάρχουν πολλές "στραβές" ρυθμίσεις. Προσωπικά χρειάστηκε να κάνω 4-5 bug reports στο helpdesk γι' αυτό το θέμα, και μάλλον θα χρειαστούν κι άλλα...

[gpapargi]

Δεν μπορώ να μη ρωτήσω το εξής:
Μιλάμε για διαθεματικότητα/διεπιστημονικότητα και ταυτόχρονα να πετάμε την αριθμητική έξω από τους αλγορίθμους. Είναι λογικά συνεπές αυτό;

[Σπύρος Δουκάκης]

Ευριπίδη και Γιώργο συμφωνώ σε όλα όσα λέτε. Τα διδάσκουμε γιατί όπως είπατε είναι ωραία θέματα και διαθεματικά. Επίσης δυσκολευόμαστε να δημιουργήσουμε σενάρια που να κάνουν τα ίδια πράγματα και να μην είναι Μαθηματικά σενάρια. Επιπλέον, κάποιοι είμαστε καλοί γνώστες των παραπάνω αλγοριθμικών εννοιών αφού τα διδαχτήκαμε στο πανεπιστήμιο (ό,τι διδαχτήκαμε αυτό διδάσκουμε λένε οι παλαιότεροι) και έτσι τα διδάσκουμε στους μαθητές και τις μαθήτριές μας.
Όμως η αξιολόγηση των εν λόγω γνώσεων είναι προτιμότερο να γίνει με θέμα αντίστοιχο των πρώτων αριθμών στο διαγώνισμα στο στέκι, με θέμα αντίστοιχο με τα θέματα που έχουν πέσει στις πανελλήνιες (Γιώργο έχουν πέσει θέματα). Όμως όχι βρε παιδιά ως θέμα 3ο ή 4ο!! Δείχνει έλλειψη φαντασίας και αποδοχή της παπαγαλίας. Στην περίπτωση αυτή οι μαθητές και οι μαθήτριες απλά θα πρέπει να αναπαράγουν αυτό που τους μάθαμε. Και αυτό δεν μου αρέσει. Εκεί είναι η διαφωνία μας.
Όσο για τους μαθηματικούς θα έλεγα, ότι αυτό που πρέπει να γίνει είναι να αναπτύσσουν την αλγοριθμική σκέψη των μαθητών/τριών από την πρώτη γυμνασίου μέχρι τη δευτέρα λυκείου μέσα από απλά παραδείγματα: μετατροπές σε μονάδες μέτρησης στην πρώτη γυμνασίου, απόλυτη τιμή στη δευτέρα, άρτιος περιττός, έλεγχος παρανομαστών και πρωτοβάθμια στην τρίτη, δομή επανάληψης με λύσεις εξίσωσης στην Α λυκείου, δευτεροβάθμια, ΜΚΔ, ΕΚΠ και λίγη λογική όπως είχαμε εμείς ως μαθητές. Αυτή όμως είναι δουλειά του ΠΙ. Όχι δική μας. Αυτοί πρέπει να τα διδάξουν και εμείς να τα εφαρμόσουμε.
Για τους μαθηματικούς τα Μαθηματικά είναι η επιστήμη των επιστημών, ενώ για τους πληροφορικούς είναι ένα εργαλείο.

[gpapargi]

Όμως η αξιολόγηση των εν λόγω γνώσεων είναι προτιμότερο να γίνει με θέμα αντίστοιχο των πρώτων αριθμών στο διαγώνισμα στο στέκι, με θέμα αντίστοιχο με τα θέματα που έχουν πέσει στις πανελλήνιες (Γιώργο έχουν πέσει θέματα). Όμως όχι βρε παιδιά ως θέμα 3ο ή 4ο!! Δείχνει έλλειψη φαντασίας και αποδοχή της παπαγαλίας. Στην περίπτωση αυτή οι μαθητές και οι μαθήτριες απλά θα πρέπει να αναπαράγουν αυτό που τους μάθαμε. Και αυτό δεν μου αρέσει. Εκεί είναι η διαφωνία μας.

Οι ασκήσεις με φόντο την αριθμητική δείχνουν έλλειψη φαντασίας και αποδοχή της παπαγαλίας;
Διαφωνώ κάθετα. Αυτό που λες Σπύρο θα ισχύει μόνο αν βάλουμε άσκηση αυτούσια μέσα από το βιβλίο. Σε κάθε άλλη περίπτωση οι ασκήσεις αυτές είναι οι κατεξοχήν ασκήσεις που στριμώχνουν τους παπαγάλους.
Στέλνω πχ μια άσκηση που χρησιμοποιώ τα τελευταία χρόνια πάνω στην διοφαντική ανάλυση.

«Ένας κακός βασιλιάς έχει συλλάβει το Διόφαντο. Του λέει λοιπόν ότι θα τον αφήσει ελεύθερο αν  βρει το ορθογώνιο τρίγωνο που έχει το ελάχιστο εμβαδό και διαθέτει τις παρακάτω 3 ιδιότητες:
 
α) και τις 3 πλευρές του ακέραιες
β) η περίμετρός του είναι τέλειο τετράγωνο κάποιου ακεραίου
δ) το εμβαδό του είναι τέλειος κύβος κάποιου ακεραίου

Σαν υπόδειξη του δίνει ότι το ζητούμενο τρίγωνο έχει και τις 3 πλευρές μικρότερες από 100 μονάδες μήκους.

Να κατασκευαστεί αλγόριθμος που θα δίνει λύση στο παραπάνω πρόβλημα.»

Αποκλείεται να τη λύσει παπαγάλος. Επίσης πηγάζει μέσα από το βιβλίο (στο θέμα της διοφαντικής ανάλυσης) καθώς και από παλιό θέμα εξετάσεων (έλεγχος ακεραίου).

ΥΓ
Όταν λέω ότι δεν έχουν πέσει στις εξετάσεις τέτοια θέματα προφανώς εννοώ θέμα 3 και 4 που κατασκευάζεις αλγόριθμο. Στο θέμα 2 απλά εκτελείς χωρίς να χρειάζεται να καταλαβαίνεις τι κάνει αυτό που εκτελείς.

[Σπύρος Δουκάκης]

Θα μου επιτρέψεις να κάνω το συνήγορο του διαβόλου... και μόνο!

Κύριε τι είναι τέλειο τετράγωνο;
Κύριε τι είναι τέλειος κύβος;

Υποθέτω ότι θα το εξηγήσεις και θα το δώσεις ως υπόδειξη...

ΣΔ

Γιώργο σου δίνω link με ασκήσεις που θα λατρέψεις:

www.math.uoc.gr/~ags/numtheory_problems.pdf

[gpapargi]

Αν με ρωτήσουν τους το λέω... αφού τους κράξω πρώτα. Επειδή η άσκηση είναι προπονητική δεν είμαι τόσο αυστηρός στην εκφώνηση κι έτσι μπορεί να δώσω μετά διευκρίνιση

Τέλειο τετράγωνο είναι το 4, το 9, το 16, αυτοί που η ρίζα τους είναι κάποιος ακέραιος αριθμός.

Αν έβαζα σε διαγώνισμα θέμα με πρώτους θα ενσωμάτωνα στην εκφώνηση τι είναι ο πρώτος.

Πάντως για το τέλειο τετράγωνο και τον τέλειο κύβο θεωρώ ότι είανι υποχρεωμένοι να το ξέρουν. Αν δεν το ξέρουν δε χρειάζεται να γράψουν αλγορίθμους και μαθηματικά. Ας γράψουν ΑΟΔΕ. Πάντως σε ένα διαγώνισμα μάλλον θα τους το διευκρίνιζα... όχι γιατί το θεωρώ σωστό, αλλά για να μη μου πει κανένας ότι δεν έλυσε την άσκηση επειδή δεν ήξερε τι είναι το τέλειο τετράγωνο. Έτσι κι αλλιώς όποιος δεν ξέρει τι είναι τέλειο τετράγωνο δεν πρόκειται να τη γράψει για διαφορετικό λόγο. Γιατί να του προσφέρω μια φτηνή δικαιολογία;

[gpapargi]

Γιώργο σου δίνω link με ασκήσεις που θα λατρέψεις:
www.math.uoc.gr/~ags/numtheory_problems.pdf

Τον ξέρω τον Αλέξανδρο. (Όχι προσωπικά, από forum). Ασχολείται με τους διαγωνσιμούς της μαθηματικής εταιρείας και ξέρω ότι έχει υπάρξει θεματοδότης στους βαλκανικούς μαθηματικούς διαγωνισμούς. Είναι πολύ καλός σα μαθηματικός και από αυτούς που θέλουν να απλώσουν τη μαθηματική γνώση στα παιδιά. Είναι και διαχειριστής στο mathematica.gr. Από όσο θυμάμαι η ειδικότητά του είναι η θεωρία αριθμών.

[ntzios kostas]

Δεν καταλαβαίνω, γιατί πρέπει να δώσουμε διευκρίνιση για το τι είναι τέλειο τετράγωνο, ΕΚΠ κ.τλ. Δεν μπορεί και δεν πρέπει οι μαθητές της Γ' Λυκείου να είναι τόσο άσχετοι. Αν είναι έτσι πρέπει να δίνουμε διευκρίνιση για το επιτόκιο, για τον μέσο όρο, έκπτωση, ΦΠΑ, πρώτο κόμμα στις εκλογές (Θέμα 2004, πολλοί εμφάνισαν το πρώτο αλφαβητικά κόμμα) και πόσο μάλλον τι σημαίνει η φράση "υπολογίζεται κλιμακωτά". 

Τελος θα ήθελα να πω ότι οι μαθηματικές ασκήσεις, αφού αποτελούν και αυτές μέρος της ύλης που διδάσκουμε, πρέπει κάποια χρονιά να τις συναντήσουμε και αυτές σε κάποια από τα θέματα του καλοκαιριού, έστω μέσα από μία με φαντασία εκφώνηση.

[Σπύρος Δουκάκης]

Θα συνεχίσω το ρόλο του συνηγόρου του διαβόλου.

Πού έχουν διδαχτεί το τέλειο τετράγωνο οι μαθητές μας; Για ρωτήστε κάποιο μαθηματικό στο σχολείο... Αν το έχουν διδαχθεί σε ποιο μάθημα (τάξη, ενότητα, κεφάλαιο), σε ποιο πλαίσιο και σε τι θέμα; Επιτόκιο επίσης. Από πού πρέπει να το ξέρουν; Ποιος πρέπει να τους διδάξει;
Αντίθετα ο μέσος όρος είναι στη στατιστική, είναι στην καθημερινότητά τους, είναι παντού. Η έκπτωση επίσης είναι στη ζωή τους, ο ΦΠΑ είναι και δεν είναι στη ζωή τους. Το πάγιο είναι και δεν είναι στη ζωή τους. Προφανώς και οι εκλογές.

Συμφωνώ ότι είναι στην ύλη οι μαθηματικές ασκήσεις. Καλό κατ΄εμέ θα ήταν να μην εξεταζόντουσαν, ως μαθηματικά γιατί αυτό πρέπει να γίνει στα μαθηματικά αλλά άλλοι αποφασίζουν και άλλοι έχουν την ευθύνη. Εγώ ένας απλός μαχητής είμαι (για να μην σας πω διεκπεραιωτής)...

ΣΔ

ΥΓ: Ελπίζω όλοι να μιλάμε για την κανονική τάξη με τα κανονικά παιδιά μας και όχι αυτά που συμμετέχουν σε διαγωνισμούς μαθηματικών, πληροφορικής κ.τ.λ.

[gpapargi]

Λύνοντας εξισωσεις δευτέρου βαθμού, αλλά και στο πυθυαγόρειο θεώρημα μαθαίνουν τι είναι το τετράγωνο αριθμού. Η εκφώνηση μιλάει για τέλειο τετράγωνο ακεραίου, οπότε δε νομίζω ότι υπάρχει πρόβλημα. 

Αν μάλιστα συνεχίσουν να διαμαρτύρονται... νομίζω πως τους αξίζει Χατζόπουλος, όπως θα θυμάται και ο Κώστας 
"Να πάτε κύριε στο μάθημα εισαγωγή στον προγραμματισμό να τα μάθετε αυτά"
Οι φοιτητές από κάτω (λόγω της άγαρμπης συμπεριφοράς αλλά και του βάρους του καθηγητή) έλεγαν: "Τον έφαγε" 

Νοσταλγία 

[Σπύρος Δουκάκης]

Σε πρόσφατη έρευνα στα πρωτάκια (Α Γυμνασίου) αναδείχτηκε ότι

σχεδόν οι μισοί μαθητές ζητούν από τους καθηγητές τους να είναι περισσότερο φιλικοί και να μην ξεχνούν ότι αντιμετωπίζουν παιδιά και όχι ενηλίκους.

Αυτό ισχύει και για τον κάθε κ. Χατζόπουλο, όταν μιλάει για μαθητές δευτεροβάθμιας. Εκ του ασφαλούς όλοι μπορούμε και κρίνουμε.

Επιπλέον θα θυμίσω Γιώργο το θέμα πανελληνίων (από δημοσίευση Κανίδη, Φανίκου, 4ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ- ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ)

που ζητούσε τη δημιουργία δισδιάστατου πίνακα για τη φύλαξη των ημερήσιων θερμοκρασιών σε 20 πόλεις για κάθε μία από τις ημέρες του Μαΐου, χωρίς να αναφέρει τον αριθμό των ημερών του Μαΐου. Στη μεγάλη τους πλειοψηφία, τα εξεταστικά κέντρα ζήτησαν διευκρίνιση για τον αριθμό των ημερών που έχει ο Μάιος, χωρίς όμως ανταπόκριση αφού η επιτροπή δεν έστειλε σχετική διευκρίνιση απαντώντας ότι το θέμα είναι σαφές.
Στο σημείο αυτό διατυπώθηκαν από τους βαθμολογητές δύο απόψεις (α) ότι το θέμα επιζητούσε να εξετάσει την ικανότητα του εξεταζόμενου να αναγνωρίσει το χώρο του προβλήματος και επομένως να επιλέξει 31 (αντί 30) στήλες για τον πίνακα των ημερήσιων θερμοκρασιών και (β) ότι η γνώση του αριθμού ημερών του Μαΐου δεν αποτελεί αντικείμενο εξέτασης στο πλαίσιο του μαθήματος και επομένως οι δύο λύσεις (30 ή 31 ημέρες) πρέπει να θεωρηθούν ισοδύναμες.
Στην πλειοψηφία τους οι βαθμολογητές εξέφρασαν τη δεύτερη άποψη οπότε τελικά υπήρξε σύγκλιση σε κοινή αντιμετώπιση του ερωτήματος. Μάλιστα σημειώθηκε και το γεγονός ότι σε κάποια εξεταστικά κέντρα οι επιτηρητές δέχθηκαν να απαντήσουν σε ερωτήσεις υποψηφίων και "δώσουν" το σωστό αριθμό ημερών του μήνα, οπότε τελικά θεωρήθηκε δικαιότερο για την αντικειμενικότητα της βαθμολόγησης η θεώρηση των δύο απαντήσεων ως ισοδύναμων.

Ξέρετε οι Μαθηματικοί χαρικτηρίζονται από απολυτότητα και έλλειψη διαψευσιμότητας. Λες τελικά να είναι και οι Πληροφορικοί απόλυτοι; Ίσως επειδή οι καθηγητές μας να ήταν Μαθηματικοί...(βλέπε κ. Χατζόπουλο). Και ξαναλέω: Ελπίζω όλοι να μιλάμε για την κανονική τάξη με τα κανονικά παιδιά μας και όχι για τα παιδιά που συμμετέχουν σε διαγωνισμούς μαθηματικών, πληροφορικής κ.τ.λ.

Αν βρείτε στην κανονική τάξη μαθητές που να ξέρουν τι είναι τέλειο τετράγωνο, τι είναι επιτόκιο, τι είναι ΦΠΑ κ.τ.λ. θα ήθελα να αλλάξουμε σχολεία. Να ξέρουν τι είναι όμως όχι να ξέρουν την έννοια του όρου... μπλα μπλα μπλα...
Γιατί η πεπατημένη λέει ότι:
1. Αφιερώνω χρόνο για να εξηγήσω τις έννοιες που όπως επισημάνατε έχουν ξεχάσει.
2. Λύνω παράδειγμα για να το δουν μαθηματικά και στη συνέχεια αλγοριθμικά
3. Τους δίνω να κάνουν ασκήσεις με επιτόκιο, με ΦΠΑ, με τέλεια τετράγωνα με ό,τι θέλετε τελοσπάντων, αφού έχω κάνει όμως τα δύο προηγούμενα βήματα.

Αν εσείς κάνετε κάτι άλλο στη Γ'  Λυκείου... τότε εγώ έχω καταστρέψει 1500 παιδιά.

ΣΔ

ΥΓ: Επειδή το θέμα μιλάει για την κανονική τάξη και όχι για το σχολείο του μέλλοντος, θα ήθελα να γράψουν και συναδέλφοι από σχολεία, φροντιστήρια κ.τ.λ. για το τι βλέπουν και αντιμετωπίζουν ως υλικό μαθητών/τριών.