Μαθηματικές Απορίες

[gpapargi]

Περιγράφω τη σκέψη στο πρόβλημα με τους Fibonacci.

Αν ξέρουμε έναν αριθμό, τότε το πλήθος των ψηφίων του είναι το ακέραιο μέρος του  λογαρίθμου του (με βάση το 10) συν 1. Δηλαδή
Πλήθος_ψηφίων(ν)= Α_Μ(Log(ν)+1)
Αν κάποιος θέλει απόδειξη ας μου πει να τη γράψω.

Άρα για να μιλήσουμε για πλήθος ψηφίων θα πρέπει να αναζητήσουμε το γενικό τύπο της ακολουθίας Fibonacci και όχι τον αναδρομικό τύπο. Υπάρχουν τρόποι για να βρεις το γενικό τύπο μιας ακολουθίας αν ξέρεις τον αναδρομικό τύπο. Ένας είναι οι εξισώσεις διαφορών (που είναι διαφορικές εξισώσεις περιορισμένες στους ακεραίους), ένας άλλος είναι μετασχηματισμός Ζ. Εγώ τον παίρνω έτοιμο και είναι:
Fn=(φ^ν-(-1/φ)^ν)/Τ_Ρ(5) όπου φ = (1+Τ_Ρ(5))/2,  η χρυσή τομή και ν είναι  η σειρά του όρου της ακολουθίας Fibonacci που θέλουμε να υπολογίσουμε.

Άρα πλήθος ψηφίων του Fn είναι
Α_Μ(Log(Fν)+1)= Α_Μ(Log((φ^ν-(-1/φ)^ν)/Τ_Ρ(5))+1)

Και το ερώτημα ανάγεται στο «για πόσα συνεχόμενα ακέραια (ν), η παραπάνω ποσότητα δίνει το ίδιο αποτέλεσμα». Ο λόγος που διαφορετικά ν δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα είναι η συνάρτηση ακέραιου μέρους.

Εδώ λοιπόν προκύπτει κάτι ενδιαφέρον: για μεγάλα ν, χρησιμοποιώντας τεχνικές ορίων βλέπω πως η σχέση συμπεριφέρεται σαν log(φ)* ν = ν/4,78

Εφόσον το ν/4,78 μπαίνει μέσα σε ακέραιο μέρος πρέπει να δούμε για πόσες διαδοχικές ακέραιες τιμές του ν έχω ίδιο αποτέλεσμα στο Α_Μ(ν/4,78). Το πλήθος αυτό είναι 5 ή 4. Δίνω ένα παράδειγμα για μη ακέραια ν για να γίνει κατανοητό αυτό που λέω: για ν=0,1,2,3,4 έχω ίδιο αποτέλεσμα. Ενώ αν είναι ν=0.8, 1.8, 2.8, 3.8 έχω 4 τιμές με ίδιο αποτέλεσμα. Για 4.8 έχω διαφορετικό. Βέβαια το ν παίρνει ακέραιες, αλλά αυτό που μετράει είναι πόσο πάνω ή κάτω είναι από τα πολλαπλάσια του 4,78 ώστε το ακέραιο μέρος να με στείλει σε κάποιον ακέραιο ή τον επόμενό του.

Και επειδή το 0,78 με το υπόλοιπο 0,22 έχουν μια αναλογία περίπου 1 προς 3.5 αναμένουμε για κάθε πλήθος ψηφίων που έχει μέσα του  4 όρους Fibonacci, να ακολουθούν 3 ή 4 πλήθη ψηφίων με 5 όρους Fibonacci.
Το σημαντικό λοιπόν είναι ότι για μεγάλα νούμερα δεν ξεφεύγεις από τους 5 όρους Fibonacci ανά πλήθος ψηφίων λόγω ιδιοτήτων της συνάρτησης ακεραίου μέρους.
Η παραπάνω ανάλυση ισχύει για μεγάλα ν, αλλά όχι για μικρά καθώς δεν ισχύει η ασυμπτωτική συμπεριφορά. Για μικρά όμως το ψάχνεις απλά με το χέρι ή ένα απλό πρόγραμμα. Προκύπτει  ότι  οι μονοψήφιοι Fibonacci είναι 7, οι διψήφιοι 5, οι τριψήφιοι 5, οι τετραψήφιοι 4.

Άρα οι μονοψήφιοι Fibonacci είναι οι περισσότεροι και το πλήθος τους είναι 7.