Μηδέν στη μηδενική

[gbougioukas]

Διαφωνώ με πολλά από όσα γράφεις. Πχ το παρακάτω που αναφέρεσαι στο 4+0^0 βγάζει μάτιΑλλοίμονο αν το κομπιουτεράκι του google, ήταν πιο θεμελιώδες από τη μαθηματική ανάλυση! Το 0^0 είναι θέμα συζήτησης από την εποχή του Euler. Είναι δυνατόν η ανάλυση να  έρχεται 1-2 χρόνια μετά το κομπιουτεράκι του Google!?!?!?!
Αλλά αν τα πιάσουμε ένα ένα η συζήτηση θα γίνει φιλοσοφική.
Μια διευκρινιστική ερώτηση θα ήθελα να κάνω μόνο: ποια η στάση σου απέναντι στους μαθηματικούς (ως προς το πτυχίο); Σκοπεύεις να τους πείσεις ή να τους παρακάμψεις;

Κοίτα, αν καποιος "μαθηματικός" (με πτυχίο τμήματος που φέρει την αυτή επωνυμία) δεν καταλαβαίνει ότι τα αξιώματα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού της πρωτοβάθμιας αριθμητικής Peano είναι πιο θεμελιώδη από την συνάρτηση is_prime(n), τι να πω, μάλλον δεν θα προσπαθούσα να τον πείσω, εσύ τι θα έκανες στην θέση μου;

[gpapargi]

Αυτό που προσπαθώ να καταλάβω είναι το  γιατί αποφεύγεις να μιλήσεις με τους μαθηματικούς του www.mathematica.gr  Κατά τη γνώμη σου δεν έχουν αρκετά υψηλό επίπεδο; Σου είπα ότι στη θέση σου με αυτούς θα μίλαγα. Εσύ επιμένεις να μη θέτεις το θέμα και εκεί.
Επίσης θα ήθελα να πω ότι το βιβλίο της β λυκείου στις σελίδες 161,162 ορίζει τις δυνάμεις με άρρητο εκθέτη μέσω ορίων. Βλέπει ότι το όριο πάει πάντα κάπου συγκεκριμένα και δίνει τον ορισμό. Αυτό έκανα κι εγώ για το 0^0 και είδα ότι σε αυτή την περίπτωση, διαφορετικές επιλογές συναρτήσεων οδηγούν άλλοτε σε 1 και άλλοτε σε 0 και έτσι εξηγώ το ότι δεν έχει δοθεί ο ορισμός.  Δεν καταλαβαίνω πιο είναι το πρόβλημα με την προσέγγιση μέσω ορίων προκειμένου να «ψηλαφίσουμε» το πρόβλημα. 

[gbougioukas]

Αυτό που προσπαθώ να καταλάβω είναι το  γιατί αποφεύγεις να μιλήσεις με τους μαθηματικούς του www.mathematica.gr  Κατά τη γνώμη σου δεν έχουν αρκετά υψηλό επίπεδο; Σου είπα ότι στη θέση σου με αυτούς θα μίλαγα. Εσύ επιμένεις να μη θέτεις το θέμα και εκεί.
Επίσης θα ήθελα να πω ότι το βιβλίο της β λυκείου στις σελίδες 161,162 ορίζει τις δυνάμεις με άρρητο εκθέτη μέσω ορίων. Βλέπει ότι το όριο πάει πάντα κάπου συγκεκριμένα και δίνει τον ορισμό. Αυτό έκανα κι εγώ για το 0^0 και είδα ότι σε αυτή την περίπτωση, διαφορετικές επιλογές συναρτήσεων οδηγούν άλλοτε σε 1 και άλλοτε σε 0 και έτσι εξηγώ το ότι δεν έχει δοθεί ο ορισμός.  Δεν καταλαβαίνω πιο είναι το πρόβλημα με την προσέγγιση μέσω ορίων προκειμένου να «ψηλαφίσουμε» το πρόβλημα. 

Δεν αποφεύγω τίποτα φίλε μου, η κυρίαρχη άποψη αυτή την στιγμή στην μαθηματική και πληροφορική κοινότητα είναι 0⁰ = 1, γι' αυτό το δίνει και το Google. Δημόσια εκθέτω τα επιχειρήματά μου και εδώ και στο μπλογκ μου, όποιος επιθυμεί ας μπει να σχολιάσει. Δεν έχω απορίες για να πάω στο mathematica.gr να μου τις λύσουν, έχω μαθηματικά επιχειρήματα, τα οποία δεν είναι ακριβώς "δικά" μου όπως είπα και παραπάνω (οι μηχανικοί του Google μπορεί να μην διαβαζουν το μπλογκ μου αλλά διαβάζουν Knuth: Two Notes on Notation). Ακόμα και με όρους ανάλυσης, να παραθέσω και εδώ (από το άρθρο στο μπλογκ μου) δύο αποφασιστικά επιχειρήματα:

1) Και οι πέτρες στην ανάλυση ξέρουν ότι η σειρά Taylor με κέντρο το 0 για την συνάρτηση e^x είναι:



Με άλλα λόγια, για κάθε x:



Συνεπάγεται 0⁰=1 (συμφωνούμε όλοι, φαντάζομαι, ότι 0!=1) .

2) (σχετικά με το κλασσικό επιχείρημα με τα όρια...)

...Πρόκειται για μια διαίσθηση του Cauchy, σε μια εποχή αρκετά μακρινή τόσο ώστε η συνολοθεωρία με το κενό της σύνολο να μην έχει καθιερωθεί ως θεμελιώδης πυρήνας των μαθηματικών όπως σήμερα, επομένως η ιδέα του γινομένου των στοιχείων του κενού συνόλου μάλλον να μην έχει κάποια ισχυρή σημασία...

Ο Cauchy λοιπόν παρατήρησε ότι αν στην δύναμη 0⁰, τόσο την βάση όσο και τον εκθέτη, τα αντικαταστήσουμε με συναρτήσεις μιας μεταβλητής οι οποίες έχουν όριο το 0 καθώς το x τείνει στο 0, το όριο της δύναμης, τότε, δεν είναι πάντα ίδιο. Με άλλα λόγια αν έχουμε μια δύναμη με βάση μια συνάρτηση μίας πραγματικής μεταβλητής η οποία έχει όριο το 0 καθώς το x τείνει στο 0, και εκθέτη μία (όχι απαραίτητα ίση) συνάρτηση της ίδιας μεταβλητής με τα ίδια χαρακτηριστικά, αυτό δεν προεξοφλεί το όριο της δύναμης. Αυτό οδήγησε τον Cauchy στην διαίσθηση ότι η δύναμη 0⁰ δεν πρέπει να ορίζεται, απουσία οποιασδήποτε άλλης εύλογης δικαιολόγησης ενός ορισμού, όπως μια τέτοια παρέχεται σήμερα από την αρχή του κενού γινομένου, για παράδειγμα.

Δεν γνωρίζω αν εκείνη την εποχή οριζόταν το ακέραιο μέρος ενός πραγματικού αριθμού x, ⌊x⌋  (ο μεγαλύτερος ακέραιος ο οποίος είναι μικρότερος ή ίσος του x), πάντως σήμερα ορίζεται και κανείς δεν διαφωνεί ότι:

⌊0⌋ = 0

Αν στο ⌊0⌋ αντικαταστήσουμε το 0, κατ' αντίστοιχο τρόπο όπως στην περίπτωση 0⁰, με συναρτήσεις με όριο το 0 καθώς το x τείνει στο 0, έστω f(x)=x, g(x)=x², h(x) =-x², για το όριο του ακέραιου μέρους των τελευταίων συναρτήσεων καθώς το x τείνει στο 0, παίρνουμε:



Με άλλα λόγια, με βάση την διαίσθηση του Cauchy, το ακέραιο μέρος του 0 δεν θα έπρεπε να ορίζεται!

[gbougioukas]

@gpapargi

Και επειδή μ' "έφαγες" με το mathematica.gr, μετά από ένα σύντομο ψάξιμο, βλέπω ότι συμφωνούν κι αυτοί (αν είναι δυνατόν να αμφισβητήσει κανείς το θεώρημα Taylor για την e^x):

Ο γενικός συντονιστής Demetres (Επίκουρος Καθηγητής Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο UCLan Cyprus), αναφέρει κατά λέξη:

"Για παρόμοιους λόγους επιλέγουμε να ορίζουμε 0⁰ = 1." (στο τέλος της τρίτης παραγράφου της τοποθέτησής του).

[gpapargi]

Διάβασα με πολύ ενδιαφέρον τη συζήτηση στο mathematica. Όντως ο Δημήτρης λέει ότι ορίζεται το 0^0=1. Πιο ενδιαφέρον έχει η παρακάτω τοποθέτηση του Λάμπρου, οποίος  το θεωρεί καλή ιδέα αλλά λέει πως δεν ορίζεται πάντα έτσι.
Όμως το μήνυμα που τα βάζει όλα στη θέση τους είναι το τελευταίο του Χρήστου Ντάβα, που απλώς δίνει ένα link στη Wikipedia. Το διάβασα και το κρίσιμο σημείο είναι η παράγραφος Μηδέν στη μηδενική δύναμη

Εκεί αναφέρονται και οι 2 απόψεις με την ιστορία τους. Λέει τα επιχειρήματα και των 2 πλευρών. Εσύ τυχαίνει να συμφωνείς με τη μια και εγώ τυχαίνει να συμφωνώ με την άλλη. Και οι 2 είναι εξίσου σεβαστές στην κοινότητα και η συγκεκριμένη διαφωνία φαίνεται ότι έχει απασχολήσει και άλλους χωρίς να έχει υπάρξει κάποια τελεσίδικη απόφαση. Άρα για μένα δεν υπάρχει περίπτωση να είναι κάποιος από τους 2 μας λάθος αφού και οι 2 απόψεις υπάρχουν και το θέμα δεν έχει διευθετηθεί οριστικά.
Θα γράψω μόνο 2 πράγματα που δεν τα είδα εκεί μέσα και αφορούν τον τρόπο που εγώ επιλέγω τη μια από τις 2 απόψεις:
1)Αν υπάρχουν 1000 λόγοι που υποδεικνύουν ένα ορισμό και μόνο ένας που να υποδεικνύει ότι δεν πρέπει να γίνει, αυτό σημαίνει ότι δεν πρέπει να γίνει. Θέλω όλοι οι δρόμοι να οδηγούν στο ίδιο μέρος για να κάνω το ορισμό. Βάζω σε πιο χαμηλή προτεραιότητα το ότι μας βολεύει. Σε πρώτη βάζω τη «συμφωνία» όλων των διαφορετικών δρόμων.
2)Στην  προσέγγιση μέσω συναρτήσεων θέλω υποχρεωτικά συνεχής συναρτήσεις, όχι ασυνεχείς. Ο λόγος είναι ότι η συνέχεια εμπεριέχει το στοιχείο του αιφνιδιασμού. Είσαι εδώ και ξαφνικά πας αλλού. Άρα δεν «προσεγγίζεις» αυτό που θέλεις. Το γράφω αυτό για τη συνάρτηση ακεραίου μέρους στο επιχείρημα του Cauchy.
Μετά από το συγκεκριμένο κείμενο που είδα στη Wikipedia νομίζω ότι τζάμπα μιλάγαμε τόση ώρα. Τα έχει όλα εκεί. Και η επιλογή της άποψης είναι θέμα του που δίνεις μεγαλύτερη προτεραιότητα: στο να γλιτώσεις εξαιρέσεις και να απλοποιήσεις τύπους, ή να θέλεις όλους τους δρόμους να οδηγούν στο ίδιο μέρος. Εγώ λειτουργώ με το δεύτερο τρόπο (εξ' ιδιοσυγκρασίας). Υποθέτω πως εσύ λειτουργείς με τον πρώτο τρόπο.

[gbougioukas]

@gpapargi

Τα μαθηματικά που ξέρω εγώ έχουν ως θεμέλιο την αρχή του αποκλειόμενου τρίτου. Αυτό στην περίπτωσή μας λέει ότι το 0⁰ είτε ορίζεται, είτε δεν ορίζεται. Όταν η ίδια η ανάλυση λέει τη μία ότι το 0⁰ δεν ορίζεται και την άλλη ότι...

για κάθε x:



...έχουμε αντίφαση, γιατί:
Για x=0 (εφόσον ισχύει για κάθε x), από το παραπάνω προκύπτει:



Αντίφαση, αν το 0⁰ δεν ορίζεται.

Δεν είναι θέμα ιδιοσυγκρασίας, μαθηματικά χωρίς συνέπεια, δεν είναι μαθηματικά.

Τώρα, αυτά που λες με τους "δρόμους" δεν τα καταλαβαίνω, αν μπορείς να τα αναπαραστήσεις με αυστηρά μαθηματικούς όρους, να το συζητήσουμε.

[gpapargi]

Αν θέλουμε να είμαστε απόλυτα αυστηροί θα πρέπει να βάλουμε εξαίρεση στο x=0. Όπως γράφει  όμως και ο Λάμπρου για την περίπτωση αυτή, το 0^0 =1 «είναι ανεκτό αλλιώς θα έπρεπε να σημειώσουμε ότι εξαιρείται το x=0». Προειδοποιεί όμως ότι «Πρόκειται ακριβώς για μία σύμβαση η οποία έχει πρακτικά πλεονεκτήματα αλλά πρέπει πάντα να θυμώμαστε ότι είναι απλά ένας συμβολισμός και δεν πρέπει να κάνουμε πράξεις με χρήση του»
Άρα δε μιλάμε για κανονικό ορισμό που το χρησιμοποιούμε μετά σε πράξεις.
Και στη Wikipedia μιλάει για «ερμηνεία» που απλοποιεί τους τύπους.
Πολύ ενδιαφέρον είναι το άρθρο στη αγγλόφωνη Wikipedia που κάνει διάκριση ανάμεσα σε discrete exponents και continuous exponents.
https://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation#Zero_to_the_power_of_zero

Αυτό που λέω εγώ για δρόμους είναι το εξής:
Οι διακριτοί εκθέτες υποδεικνύουν ότι πρέπει να γίνει ο ορισμός 0^0=1. Οι συνεχείς εκθέτες υποδεικνύουν ότι δεν πρέπει να γίνει ο ορισμός. Αυτό που εννοώ εγώ είναι ότι και οι διακριτοί εκθέτες και οι συνεχείς εκθέτες θα πρέπει να υποδεικνύουν το ίδια πράγμα για να γίνει ο ορισμός. Αλλιώς εγώ δεν τον θέλω.
Πραγματικά το άρθρο της Wikipedia είναι κατατοπιστικότατο. Τα λέει όλα. Εσύ έχεις στο νου σου τους διακριτούς εκθέτες, ενώ εγώ τους συνεχείς. Και όσοι έχουν ένσταση στο να δοθεί επίσημος ορισμός 0^0=1 το κάνουν γιατί θα ήθελαν αυτό να υποδεικνύεται και από τους  συνεχείς εκθέτες (κάτι που δε συμβαίνει γιατί οι συνεχείς εκθέτες οδηγούν σε απροσδιοριστία). Αυτό είναι που εννοώ όταν λέω «όλοι οι δρόμοι».

[gbougioukas]

«Πρόκειται ακριβώς για μία σύμβαση η οποία έχει πρακτικά πλεονεκτήματα αλλά πρέπει πάντα να θυμώμαστε ότι είναι απλά ένας συμβολισμός και δεν πρέπει να κάνουμε πράξεις με χρήση του»
Άρα δε μιλάμε για κανονικό ορισμό που το χρησιμοποιούμε μετά σε πράξεις.

Αυτό δεν είναι μαθηματικός ισχυρισμός, διότι η κοντινότερη μαθηματική ερμηνεία που μπορώ να κάνω είναι  α ∧ ¬α, το οποίο στα μαθηματικά το λέμε αντίφαση.

Πολύ ενδιαφέρον είναι το άρθρο στη αγγλόφωνη Wikipedia που κάνει διάκριση ανάμεσα σε discrete exponents και continuous exponents.
https://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation#Zero_to_the_power_of_zero

Αυτό που λέω εγώ για δρόμους είναι το εξής:
Οι διακριτοί εκθέτες υποδεικνύουν ότι πρέπει να γίνει ο ορισμός 0^0=1. Οι συνεχείς εκθέτες υποδεικνύουν ότι δεν πρέπει να γίνει ο ορισμός. Αυτό που εννοώ εγώ είναι ότι και οι διακριτοί εκθέτες και οι συνεχείς εκθέτες θα πρέπει να υποδεικνύουν το ίδια πράγμα για να γίνει ο ορισμός. Αλλιώς εγώ δεν τον θέλω.
Πραγματικά το άρθρο της Wikipedia είναι κατατοπιστικότατο. Τα λέει όλα. Εσύ έχεις στο νου σου τους διακριτούς εκθέτες, ενώ εγώ τους συνεχείς. Και όσοι έχουν ένσταση στο να δοθεί επίσημος ορισμός 0^0=1 το κάνουν γιατί θα ήθελαν αυτό να υποδεικνύεται και από τους  συνεχείς εκθέτες (κάτι που δε συμβαίνει γιατί οι συνεχείς εκθέτες οδηγούν σε απροσδιοριστία). Αυτό είναι που εννοώ όταν λέω «όλοι οι δρόμοι».

Συνεχείς εκθέτες; Το μηδέν δεν είναι "συνεχής εκθέτης", είναι πραγματική σταθερή, που θα πει κλάση ισοδυναμίας ρητών ακολουθιών Cauchy, της οποίας χαρακτηριστικό μέλος είναι η ακολουθία {0,0,0, ...}. Και επειδή η δύναμη ορίζεται με βάση τον πολλαπλασιασμό, και ο πολλαπλασιασμός πραγματικών σταθερών είναι πολλαπλασιασμός ρητών ακολουθιών Cauchy, o οποίος ορίζεται ως μία ακολουθία της οποίας κάθε ρητός όρος είναι το γινόμενο των αντίστοιχων ρητών όρων των παραγόντων (ακολουθιών), η τιμή μιας δύναμης πραγματικών σταθερών εξαρτάται από το πως ορίζεται ο πολλαπλασιασμός ρητών, ο οποίος εξαρτάται από το πως ορίζεται ο πολλαπλασιασμός ακεραίων. Το διακριτό βρίσκεται στα θεμέλια των ορισμών και καθορίζει την όποια συνέχεια.

CAUCHY'S CONSTRUCTION OF ℝ

[gpapargi]

Και τότε πως γίνεται ο Cauchy (με τη συγκεκριμένη κατασκευή του R που παραθέτεις), να είναι ταυτόχρονα ο βασικός υποστηρικτής της προσέγγισης του 0 με συνεχείς συναρτήσεις (που δεν τη δέχεσαι); Θεωρείς ότι χωρίς να το καταλάβει  έπεσε σε αντίφαση με τον εαυτό του και το εντοπίζεις τώρα εσύ;

Επίσης, διαβάζοντας τη Wikipedia για τους συνεχείς εκθέτες, κατάλαβες ότι λέει πως το 0 είναι συνεχής εκθέτης; Λέει πως ο εκθέτης μπορεί να προσεγγίσει το 0 μέσω συνεχών συναρτήσεων. Αυτό ακριβώς που έκανα στην αρχή και που τελικά ήταν ο τρόπος που αντιμετώπισε το θέμα ο  Cauchy. Τα λέει και η Wikipedia ξεκάθαρα.

Αν δε σου αρέσει η προσέγγιση του 0 με συνεχείς συναρτήσεις και θέλεις ακολουθίες, μπορείς να προσεγγίσεις το 0^0 με ακολουθίες. Απλά αντικαθιστάς στις δοσμένες συναρτήσεις το συνεχές x με το διακριτό  1/n. Έτσι το f(x) γίνεται F(x(n)). Αναλόγως και τα υπόλοιπα. Σχηματικά είναι σαν να πηγαίνεις στο σχήμα με ανεξάρτητη μεταβλητή το x και να παίρνεις κουκίδες που προσεγγίζουν το 0^0. 

[gbougioukas]

Και τότε πως γίνεται ο Cauchy (με τη συγκεκριμένη κατασκευή του R που παραθέτεις), να είναι ταυτόχρονα ο βασικός υποστηρικτής της προσέγγισης του 0 με συνεχείς συναρτήσεις (που δεν τη δέχεσαι); Θεωρείς ότι χωρίς να το καταλάβει  έπεσε σε αντίφαση με τον εαυτό του και το εντοπίζεις τώρα εσύ;

Επίσης, διαβάζοντας τη Wikipedia για τους συνεχείς εκθέτες, κατάλαβες ότι λέει πως το 0 είναι συνεχής εκθέτης; Λέει πως ο εκθέτης μπορεί να προσεγγίσει το 0 μέσω συνεχών συναρτήσεων. Αυτό ακριβώς που έκανα στην αρχή και που τελικά ήταν ο τρόπος που αντιμετώπισε το θέμα ο  Cauchy. Τα λέει και η Wikipedia ξεκάθαρα.

Αν δε σου αρέσει η προσέγγιση του 0 με συνεχείς συναρτήσεις και θέλεις ακολουθίες, μπορείς να προσεγγίσεις το 0^0 με ακολουθίες. Απλά αντικαθιστάς στις δοσμένες συναρτήσεις το συνεχές x με το διακριτό  1/n. Έτσι το f(x) γίνεται F(x(n)). Αναλόγως και τα υπόλοιπα. Σχηματικά είναι σαν να πηγαίνεις στο σχήμα με ανεξάρτητη μεταβλητή το x και να παίρνεις κουκίδες που προσεγγίζουν το 0^0.

Ο Cauchy ήταν ένας σπουδαίος μαθηματικός, αλλά όχι ο Θεός, επομένως ναι, γενικά, δεν θα ήταν απίθανο να του διέφευγε κάτι (αυτό ως προς την επίκληση αυθεντίας, πάλι). Ωστόσο, στην δεδομένη περίπτωση, θεωρώ ότι η θέση του ήταν αποτέλεσμα του επιπέδου εξέλιξης των μαθηματικών της εποχής του. Το 0⁰=1 δεν ήταν ακόμα ξεκάθαρο στους ακέραιους και γι' αυτό ο Cauchy επιχείρησε να το καθορίσει μέσω ορίων. Αν ήταν ξεκάθαρος αυτός ο ορισμός στους ακέραιους αριθμούς φυσικά δεν θα έθετε τέτοιο θέμα, αφού φυσικά γνώριζε πολύ καλά ότι ο πολλαπλασιασμός πραγματικών σταθερών, επομένως και οποιαδήποτε δύναμη πραγματικών σταθερών, ορίζεται μέσω του πολλαπλασιασμού ακεραίων. Το ότι σήμερα αυτό είναι ξεκάθαρο, σημαίνει ότι ο Cauchy δεν θα έθετε αυτό το θέμα σήμερα. Τι έχει αλλάξει στην εξέλιξη των μαθηματικών σήμερα από την εποχή του Cauchy; Έχει μεσολαβήσει ο 20ος αιώνας, ο οποίος για τα μαθηματικά είναι (μεταξύ άλλων) ο αιώνας της συνολοθεωρίας και του κενού συνόλου, η καθιέρωσή τους ως θεμέλιο των μαθηματικών. Μόνο έτσι μπόρεσε να δημιουργηθεί η αρχή του κενού γινομένου, η οποία λύνει το πρόβλημα στους ακέραιους, και επομένως οπουδήποτε:



Και επειδή ο 20ος αιώνας, είναι και ο αιώνας της προτασιακής και κατηγορηματικής λογικής, η διαίσθηση του Cauchy δεν λέει τίποτα σήμερα στην μαθηματική κοινότητα γενικά, πλην ελαχίστων εξαιρέσεων, όπως δεν θα έλεγε τίποτα και στον ίδιο τον Cauchy αν ζούσε σήμερα:



H (1) είναι μία δύναμη με βάση και εκθέτη συναρτήσεις της ίδιας μεταβλητής. Η (2) είναι μια δύναμη με βάση και εκθέτη την πραγματική σταθερή 0. Καμία σχέση το ένα με το άλλο, είναι ξεκάθαρα δύο διαφορετικά πράγματα.

Να προσθέσουμε κι ένα συναρτησιακό σύμβολο στην (1):



Μήπως άρχισαν να μοιάζουν τώρα;

H (1) - η οποία ισούται τώρα με 1/e - μας λέει τώρα ότι καθώς το x πλησιάζει το 0 από δεξιά (χωρίς να το ακουμπάει), η δύναμη, της οποίας, τότε, τόσο η βάση όσο και ο εκθέτης τείνουν στο 0, χωρίς στην συγκεκριμένη περίπτωση να το ακουμπάνε, τείνει στο 1/e (χωρίς να το ακουμπάει). Δεξιά παραμένει η δύναμη με εκθέτη και βάση σταθερά την πραγματική σταθερή 0, και όχι κάτι που τείνει στο 0. Καμία σχέση. Άλλο πράγμα κάτι που ΕΙΝΑΙ 0, άλλο πράγμα κάτι που ΤΕΙΝΕΙ στο 0. Αν θέλεις να ονομάσεις την αμέσως παραπάνω (1)  "απροσδιόριστη μορφή 0⁰", Ok, κανένα πρόβλημα, είναι απλά μια μετα-μαθηματική ονομασία, αλλά αυτό δεν έχει καμία σχέση με το πως ορίζεται η δύναμη με βάση και εκθέτη μια πραγματική σταθερή: 0⁰=1.

[gpapargi]

[...], αλλά αυτό δεν έχει καμία σχέση με το πως ορίζεται η δύναμη με βάση και εκθέτη μια πραγματική σταθερή: 0⁰=1.

Αν είχε δοθεί ο ορισμός 0^0=1 θα το βλέπαμε στις αναφορές. Εφόσον η Wikipedia λέει άλλα, δεν έχει δοθεί τέτοιος ορισμός καθολικά αποδεκτός. Εσύ προφανώς διαφωνείς με αυτά που γράφει η Wikipedia. Αυτό θα ήθελα να το ξεκαθαρίσεις για να δούμε σε τι βάση γίνεται η συζήτηση. Η προσέγγιση με συναρτήσεις είναι και αυτή γραμμένη εκεί μέσα.

[gbougioukas]

Αν είχε δοθεί ο ορισμός 0^0=1 θα το βλέπαμε στις αναφορές. Εφόσον η Wikipedia λέει άλλα, δεν έχει δοθεί τέτοιος ορισμός καθολικά αποδεκτός. Εσύ προφανώς διαφωνείς με αυτά που γράφει η Wikipedia. Αυτό θα ήθελα να το ξεκαθαρίσεις για να δούμε σε τι βάση γίνεται η συζήτηση. Η προσέγγιση με συναρτήσεις είναι και αυτή γραμμένη εκεί μέσα.

Πάλι επίκληση αυθεντίας! Η wikipedia τώρα! Έστω. Η wikipedia δεν λέει αυτό που θέλεις εσύ να λέει, λέει αυτό που λέει, για συνεχείς εκθέτες δηλαδή συνεχείς συναρτήσεις μιας μεταβλητής που τείνουν στο 0. Άλλο πράγμα η συνεχής συνάρτηση μιας μεταβλητής που τείνει στο 0 και άλλο πράγμα η πραγματική σταθερή 0, δεν θέλεις να το δεις, Ok, τι να σου κάνω τώρα. Δεν μπορώ να κάνω κάτι. Το μόνο που μπορώ είναι να δώσω μια επιπλέον διευκρίνηση γιατί η δύναμη πραγματικών σταθερών ορίζεται τυπικά μέσω του πολλαπλασιασμού ακεραίων (αντιγράφω από το σχετικό άρθρο στο μπλογκ μου):

Μια δύναμη με βάση και εκθέτη μια πραγματική σταθερή (όπως η 0⁰) αναπαριστάνεται τυπικά μέσω του πολλαπλασιασμού πραγματικών σταθερών. Για παράδειγμα (το α είναι μη-αρνητικό εξ' ορισμού του ριζικού συμβόλου):



Φυσικά, το ίδιο ισχύει και για την περίπτωση άρρητης βάσης ή/και εκθέτη, χρειαζόμαστε όμως τον ορισμό της πραγματικής σταθερής που ακολουθεί. Μια πραγματική σταθερή είναι τυπικά μια κλάση ισοδυναμίας ρητών ακολουθιών Cauchy και αναπαριστάνεται συντακτικά από οποιοδήποτε μέλος της κλάσης ισοδυναμίας. Για παράδειγμα η πραγματική σταθερή 0 αναπαριστάνεται ως η ρητή ακολουθία {0, 0, 0, ...}, ή κατά σύμβαση απλά 0, ενώ η πραγματική σταθερή π αναπαριστάνεται ως ρητή ακολουθία {3, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, ....} ή κατά σύμβαση απλά π. Το γινόμενο δύο πραγματικών αριθμών, δηλαδή δύο ρητών ακολουθιών Cauchy, ορίζεται ως η ρητή ακολουθία της οποίας κάθε όρος ισούται με το γινόμενο των αντίστοιχων όρων των παραγόντων (ακολουθιών), για παράδειγμα το γινόμενο π⋅e, ορίζεται ως εξής:

π⋅e = {3, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, .... } ⋅ {2, 2.7, 2.71, 2.718, 2.7182, 2.71828, ...} =

{3⋅2, 3.14 ⋅ 2.71, 3.141 ⋅2.718, 3.1415 ⋅2.7182, 3.14159 ⋅2.71828, ...} =

{6, 8.5094, 8.537238, 8.5392253, 8.5397212652, ...}

Ας δούμε τώρα τι γίνεται με μια δύναμη με βάση και εκθέτη άρρητους, π.χ π^e:

π^e = {3², 3.1^2.7, 3.14^2.71, 3.141^2.718, 3.1415^2.7182, 3.14159^2.71828,...}

Κάθε όρος της τελευταίας πραγματικής (αυτή τη φορά) ακολουθίας (Cauchy)  αναπαριστάνεται, λοιπόν, μέσω του πολλαπλασιασμού πραγματικών σταθερών, όπως είδαμε στο παράδειγμα με τον ρητό εκθέτη παραπάνω. Ο πολλαπλασιασμός πραγματικών σταθερών, όμως, και επομένως οποιαδήποτε δύναμη με βάση και εκθέτη πραγματικές σταθερές, θεμελιώνεται πάνω στον πολλαπλασιασμό ρητών σταθερών, ο οποίος φυσικά θεμελιώνεται πάνω στον πολλαπλασιασμό ακεραίων. Το να λέμε ότι η δύναμη (με βάση και εκθέτη πραγματικές σταθερές) 0⁰ ορίζεται ή δεν ορίζεται με βάση την έννοια του ορίου της ανάλυσης,  είναι σαν να λέμε ότι ορίζεται ή δεν ορίζεται το γινόμενο δύο επί πέντε με βάση την ίδια έννοια. Δεν ορίζεται με βάση αυτήν την έννοια (βλ. CAUCHY'S CONSTRUCTION OF ℝ).

Όσον αφορά τις αναφορές. Επαναλαμβάνω, (σχεδόν) όποιο βιβλίο ανάλυσης ανοίξεις έχει το παρακάτω:

Για κάθε x:


Από όπου συνεπάγεται, για x=0:



Θες δεν θες, σε πάει μόνο του το πράγμα.

[evry]

@gbougioukas
Το πρόβλημα δεν είναι ότι ο Γιώργος δεν καταλαβαίνει αυτά που του λες, αλλά εσύ δεν καταλαβαίνεις ότι τα επιχειρήματά σου δεν είναι περισσότερο ισχυρά από αυτά της άλλης πλευράς, πέρα από το γεγονός ότι μιλάτε για κάτι στο οποίο ακόμα δεν έχει καταλήξει η μαθηματική κοινότητα ενώ εσύ είσαι απόλυτος.

Επίσης συνεχώς καυτηριάζεις με ειρωνικό τρόπο τις παραπομπές του Γιώργου με το επιχείρημα της επίκλησης στην αυθεντία.
Εσύ δεν επικαλέστηκες το 0^0 του Google? Εσύ ξεκίνησες με επίκληση στην αυθεντία.Δεν σε ειρωνεύτηκε κανένας όμως.

Τέλος , όλα όσα παραθέτεις είναι ενδείξεις και όχι αυστηρή απόδειξη.
Η συζητήση έχει χάσει το νόημά της έχει κουράσει γιατί επικαλείσαι συνεχώς τα ίδια επιχειρήματα, τα οποία ξαναλέω είναι ενδείξεις και όχι απόδειξη.

[GiannisP]

Εγω καποια στιγμη ειχα την ιδια απορια με το γιατι 0! = 1 και οχι 0. Πολυ απλα γιατι αμα εκανε 0 δεν θα εβγαινε κανενα παραγωντικο διαφορετικο του μηδενος. Γενικα απο οτι φαινεται πολλες φορες στα μαθηματικα μας "βολευει" καποια πραγματα να οριζονται με συγκεκριμενο τροπο. Αν και τυπικα η ευρεση του παραγωντικου ξεκιναει με το 1 αν θυμαμαι καλα, το γεγονος ομως παραμενει, ισως απλα να "βολευει".