Δραστηριότητες στην επιλογή και επανάληψη που στηρίζονται στο θεώρημα Bolzano

[Σπύρος Δουκάκης]

Στο συνέδριο "CIE2011-Conference on Informatics in Education 2011, Η Πληροφορική στην Εκπαίδευση" παρουσιάστηκε μια διδακτική πρόταση η οποία αξιοποιεί τις γνώσεις των μαθητών/τριών από τα Μαθηματικά Κατεύθυνσης στο θεώρημα Bolzano. Στα Μαθηματικά, οι μαθητές/τριες έχουν μελετήσει περιπτώσεις που εφαρμόζεται, αντί-παραδείγματα καθώς και τον ορισμό του ορίου (προσέγγιση τιμής). Με τις δραστηριότητες που συνοδεύουν την πρόταση, οι μαθητές/τριες καλούνται να εφαρμόσουν τις γνώσεις τους στη δομή επιλογής και επανάληψης ώστε να επιλύσουν αλγοριθμικά, προβλήματα που ανάγονται στην επιτυχία ή όχι του θεωρήματος Bolzano να επιβεβαιώσει την ύπαρξη λύσης για συγκεκριμένες εξισώσεις.

Περισσότερα στο σύνδεσμο: http://wp.me/pykbG-aA

ΥΓ: Ο ρόλος του λογισμικού "Διερμηνευτής της ΓΛΩΣΣΑΣ" είναι ιδιαίτερα σημαντικός για την υλοποίηση των δραστηριοτήτων.  Είναι απαραίτητο για την υλοποίηση των δραστηριοτήτων να αξιοποιηθεί το συγκεκριμένο λογισμικό και να επιλεγεί από τις Επιλογές του λογισμικού "Διερμηνευτής της ΓΛΩΣΣΑΣ" στη δεύτερη καρτέλα "Γλώσσα" να είναι 20 τα δεκαδικά ψηφία κατά την εκτύπωση πραγματικών και 20 στην στρογγυλοποίηση πραγματικών σε συγκρίσεις στο δεκαδικό.

[gpapargi]

Η ιδέα τους συνδυασμού του θεωρήματος Bolzano – ΑΕΠΠ εμένα προσωπικά με βρίσκει απόλυτα σύμφωνο καθώς και γενικότερα η σχέση της ΑΕΠΠ με τα μαθηματικά. Το είχαμε προτείνει και σε μια εργασία που σχετιζόταν με την αλγοριθμική φιλοσοφία του μαθήματος (Ευριπίδης Βραχνός, Παναγιώτης Γροντάς Κώστα Ντζιος και εγώ), στην ημερίδα της ΕΠΥ το 2010 αν θυμάμαι καλά.
Πρόκειται για μια ιδέα με που έρχεται σε απόλυτη ταύτιση με το διδακτικό πακέτο αφού υπάρχει μέσα. Δεν είχαμε δώσει τότε κάποια συγκεκριμένη δραστηριότητα απλά είχε προταθεί να διδάσκεται η δυαδική αναζήτηση εκτός από τη σειριακή (ώστε να καταλαβαίνει ο μαθητής γιατί είναι χρήσιμη η ταξινόμηση) και στη συνέχεια να κάνουμε χρήση του Bolzano στη λύση εξισώσεων αφού ουσιαστικά το θεώρημα Bolzano είναι μια δυαδική αναζήτηση όσο αφορά τις ιδέες που περιέχει.

Γενικά πιστεύω στην αρμονική συνύπαρξη των μαθηματικών με το μάθημα των αλγορίθμων.  Το τετράδιο μαθητή περιέχει πληθώρα παραδειγμάτων μέσα από την μαθηματικά (ανάλυση σε πρώτους παράγοντες, μετατροπή σε άλλο σύστημα αρίθμησης, ανάπτυγμα σε δυναμοσειρά του ημιτόνου και του συνημιτόνου).

Οι ενστάσεις που είχαν ακουστεί σε τέτοιες συζητήσεις ήταν ότι «οι μαθηματικοί καλοβλέπουν το μάθημά μας και καλό είναι μην τους βάζουμε στο παιχνίδι από μόνοι μας» καθώς και ότι «πολλά παιδιά φοβούνται τα μαθηματικά και μπορεί να τα αποτρέψουμε από το μάθημά μας» ή «εδώ δεν εξετάζονται στα μαθηματικά».

Εγώ προσωπικά συμφωνώ πλήρως με ασκήσεις μαθηματικών εφαρμογών στο μάθημα. Σε δυνατούς μαθητές κάνω και ολοκλήρωμα με τον ορισμό (3-4 γραμμές κώδικας είναι).

S<- 0
dx <- 0.001
Για x από α μέχρι β με_βήμα dx
    S<- S + f(x)*dx
Τέλος_επανάληψης

Για να κλείσω, νομίζω ότι το πρώτο βήμα που πρέπει να γίνει είναι να μπει η δυαδική αναζήτηση στην ύλη και μαζί να κολλήσει και η χρήση του Bolzano ως μια εφαρμογή του διαίρει και βασίλευε σε «συνεχές» σύνολο.

[pgrontas]

Παρακολούθησα και εγώ την παρουσίαση και θα ήθελα να κάνω μια ερώτηση στους συγγραφείς που δεν πρόλαβα να κάνω εκεί. Γιατί επιλέξατε σπάσιμο του διαστήματος σε 10 κομμάτια και δεν εφαρμόσατε επαναμβανόμενα την μέθοδο της διχοτόμησης, που είναι πιο φυσική και μπορεί να κολλήσει με την δυαδική αναζήτηση;

Οι ενστάσεις που είχαν ακουστεί σε τέτοιες συζητήσεις ήταν ότι «οι μαθηματικοί καλοβλέπουν το μάθημά μας και καλό είναι μην τους βάζουμε στο παιχνίδι από μόνοι μας» καθώς και ότι «πολλά παιδιά φοβούνται τα μαθηματικά και μπορεί να τα αποτρέψουμε από το μάθημά μας» ή «εδώ δεν εξετάζονται στα μαθηματικά».

Συμφωνώ επί της αρχής με τον Γιώργο, αλλά θέλω να προσθέσω και μία επιπλέον ένσταση που έχω ξαναγράψει κατά καιρούς και που νομίζω ότι είναι πιο σημαντική.
Στο μάθημα μας (αλλά και στην επιστήμη μας) έχουμε 2 ειδών δυσκολίες:
1. Την αλγοριθμική δυσκολία. Να καταφέρεις δηλ. να φτιάξεις σωστά ένα δύσκολο αλγόριθμο. Αυτή την δυσκολία έχουν τα μαθηματικά προβλήματα, όπως το παραπάνω.
2. Την δυσκολία απεικόνισης του προβλήματος από τον πραγματικό κόσμο στον υπολογιστή. Αυτή την δυσκολία δεν την έχουν μαθηματικά προβλήματα όπως το παραπάνω, όπου οι μεταβλητές και οι δομές που πρέπει να χρησιμοποιήσεις σου έρχονται έτοιμες.

Φυσικά και οι δύο δυσκολίες πρέπει να ξεπεραστούν αλλά κλίνω ότι η δεύτερη είναι αυτή που πρέπει να εστιάσουμε καθώς αποτελεί προϋπόθεση για την πρώτη. Γι' αυτό νομίζω ότι πρέπει να είμαστε λίγο φειδωλοί με τα μαθηματικά (όσο και αν μας αρέσουν  )

[Αθανάσιος Πέρδος]

Παρακολούθησα και εγώ την παρουσίαση και θα ήθελα να κάνω μια ερώτηση στους συγγραφείς που δεν πρόλαβα να κάνω εκεί. Γιατί επιλέξατε σπάσιμο του διαστήματος σε 10 κομμάτια και δεν εφαρμόσατε επαναμβανόμενα την μέθοδο της διχοτόμησης, που είναι πιο φυσική και μπορεί να κολλήσει με την δυαδική αναζήτηση;

Είναι πολύ σωστή η παρατήρηση σου και μάλιστα το συγκεκριμένο ζήτημα τέθηκε όταν γράφαμε την εργασία. Όμως η εργασία δεν αποτελεί μόνο ιδέα δικιά μου και του Σπύρου αλλά και των δύο συναδέρφων μαθηματικών. Έτσι θέλαμε να υπάρχει συνέχεια μεταξύ του πώς δουλεύουν στα Μαθηματικά και πώς θα υλοποιήσουν τον αλγόριθμο στην ΑΕΠΠ. Μπορεί όμως ο καθένας εκπαιδευτικός που θα εντάξει τη διδακτική πρόταση στη διδασκαλία του, να τροποποίησει την δραστηριότητα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της διχοτόμησης. Όμως θα πρέπει πρώτα να την έχει παρουσιάσει στους μαθητές ώστε να είναι σε θέση να τη χρησιμοποιήσουν. Αυτός είναι ο δεύτερος λόγος που δεν την χρησιμοποιήσαμε, θεωρείται από κάποιους, δεν εξετάζω αν είναι σωστό ή όχι, εκτός ύλης.
Μακάρι με την αλλαγή του προγράμματος σπουδών να αυξηθεί η ύλη ενός πιθανού μαθήματος αλγοριθμικής και να μην υπάρχουν αυτοί οι προβληματισμοί.

[gpapargi]

Σε ποια συνάρτηση εννοείς Παναγιώτη ότι έσπασε το διάστημα σε 10 κομμάτια;
Γενικά μπορεί αυτό να χρειάζεται κάποιες φορές όταν πχ έχεις μια συνάρτηση που είναι θετική και στα 2 άκρα ενώ υπάρχει ρίζα ανάμεσα (ικανό αλλά όχι αναγκαίο), οπότε πρέπει να κάνεις μια σάρωση μήπως βρεις εσωτερικά 2 σημεία με ετερόσημο πρόσημο.

Η παρατήρηση που έχω να κάνω, αν μου επιτρέπεται, είναι ότι η εργασία είναι κάπως «μαθηματικοκεντρική». Δηλαδή φαίνεται σαν ο κύριος στόχος να είναι το Bolzano και όχι η διχοτόμηση. Το λέω αυτό γιατί βλέπω ότι έγινε ωραία διερεύνηση στα λεπτά σημεία του θεωρήματος (πχ ομόσημο γινόμενο άκρων το οποίο όμως περιέχει τελικά ρίζα καθώς και ασυνεχή συνάρτηση με ετερόσημο πρόσημο στα άκρα που δεν έχει ρίζα λόγω ασυνέχειας), τα οποία είναι ενδιαφέροντα από μαθηματική άποψη, αλλά δεν είναι τόσο οι δικοί μας στόχοι. Ο δικός μας στόχος στην ΑΕΠΠ είναι η διχοτόμηση. Δηλαδή για εμάς το πιο χρήσιμο είναι δυαδική αναζήτηση και αμέσως μετά Bolzano σε  διάστημα συνεχούς συνάρτησης με ετερόσημα άκρα.

ΥΓ
Μια μικρή διόρθωση (αν δε μου ξέφυγε κάτι): Στη δραστηριότητα 1 το να μην έχω αρνητικό γινόμενο (στο αλλιώς) δε σημαίνει ότι δεν έχω ρίζα. Μπορεί και να έχω. Η συνθήκη είναι ικανή αλλά όχι αναγκαία. Επίσης το θεώρημα μιλάει για λύση στο ανοικτό ενώ το μήνυμα εξόδου μιλάει για κλειστό. Δεν είναι βέβαια λάθος αφού το ανοικτό είναι γνήσιο υποσύνολο του κλειστού, αλλά γιατί να μην περιορίσεις τη λύση όσο μπορείς; Αυτός είναι και ο λόγος που το θεώρημα μιλάει για λύση στο ανοικτό.

[Αθανάσιος Πέρδος]

ΥΓ
Μια μικρή διόρθωση (αν δε μου ξέφυγε κάτι): Στη δραστηριότητα 1 το να μην έχω αρνητικό γινόμενο (στο αλλιώς) δε σημαίνει ότι δεν έχω ρίζα. Μπορεί και να έχω. Η συνθήκη είναι ικανή αλλά όχι αναγκαία. Επίσης το θεώρημα μιλάει για λύση στο ανοικτό ενώ το μήνυμα εξόδου μιλάει για κλειστό. Δεν είναι βέβαια λάθος αφού το ανοικτό είναι γνήσιο υποσύνολο του κλειστού, αλλά γιατί να μην περιορίσεις τη λύση όσο μπορείς; Αυτός είναι και ο λόγος που το θεώρημα μιλάει για λύση στο ανοικτό.

Πολύ σωστή διόρθωση αυτή σχετικά με το μήνυμα που εμφανίζεται στην περίπτωση αλλιώς. Έπρεπε το μήνυμα να είναι της μορφής "Το θεώρημα bolzano είναι ικανή συνθήκη αλλά όχι αναγκαία για την ύπαρξη λύσης". Εξάλλου αυτό φαίνεται και από τα επόμενα αντιπαραδείγματα που δίνονται.
Όσον αφορά το κλειστό και ανοικτό διάστημα δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα γιατί η δραστηριότητα ασχολείται με τη γενίκευση του θεωρήματος.

Η παρατήρηση που έχω να κάνω, αν μου επιτρέπεται, είναι ότι η εργασία είναι κάπως «μαθηματικοκεντρική».

Ναι είναι. Στόχος  ήταν να πάρουμε ένα παράδειγμα από τα Μαθηματικά και να το υλοποιήσουμε αλγοριθμικά χωρίς να σκεφτούμε τις ανάγκες της ΑΕΠΠ αλλά μόνο πως οι μαθητές θα ανακαλέσουν τις γνώσεις τους από τα Μαθηματικά και πως θα δημιουργήσουν τις κατάλληλες αναπαραστάσεις για το συγκεκριμένο θεώρημα, εξασκώντας βέβαια την αλγοριθμική τους σκέψη. Αν κάποιοι έχουν αφήσει έξω από την ύλη της ΑΕΠΠ, έννοιες όπως η δυαδική αναζήτηση δεν μας απασχόλησε στη συγκεκριμένη εργασία. Όμως όπως ανάφερα προηγουμένως ο καθένας μπορεί να τροποποίησει τις δραστηριότητες και να τις προσαρμόσει όπως κρίνει καλύτερα. Εμείς ένα έναυσμα δώσαμε.

[gpapargi]

Όσον αφορά το κλειστό και ανοικτό διάστημα δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα γιατί η δραστηριότητα ασχολείται με τη γενίκευση του θεωρήματος.

Ναι, είδα τη φράση  «γενίκευση του θεωρήματος Bolzano» αλλά δεν κατάλαβα τι εννοείτε στην εργασία.
Στα μαθηματικά όταν λέμε «γενίκευση του θεωρήματος Bolzano» εννοούμε το λεγόμενο θεώρημα ενδιάμεσων τιμών. Δηλαδή αν πάρεις κάποια τιμή κ μεταξύ των f(α) και f(β) τότε υπάρχει κάποιο ξ στο (α,β) ώστε f(ξ)=κ (οι προϋποθέσεις ίδιες). Δηλαδή δεν «περιστρεφόμαστε» γύρω από το 0, αλλά γύρω από οποιοδήποτε αριθμό μεταξύ f(α) και f(β) (γενίκευση).
Εδώ όμως σημαίνει κάτι άλλο. Τι ακριβώς;

[pgrontas]

Σε ποια συνάρτηση εννοείς Παναγιώτη ότι έσπασε το διάστημα σε 10 κομμάτια;

Εννοώ στην Δραστηριότητα 6.

Το ενδιαφέρον πάντως στην συγκεκριμένη εργασία και στις δραστηριότητες κατά τη γνώμη μου δεν είναι το θεώρημα Bolzano. Είναι το σφάλμα μηχανής, το οποίο μπορεί να δείξει στους μαθητές γιατί τα μαθηματικά στον υπολογιστή, διαφέρουν από τα μαθηματικά στην θεωρία.

[Αθανάσιος Πέρδος]

Με το όρο γενικευμένη μορφή του θεωρήματος εννοούμε να υπάρχει ρίζα στο α ή στο β, στο κλειστό δηλαδή [α,β].

Τώρα όσον αφορά την εργασία από την πλευρά της ΑΕΠΠ θεωρούμε ότι το καινούργιο που φέρνει είναι η εξάσκηση των αλγοριθμικών δομών με προβλήματα που προέρχονται από άλλο μάθημα, ο χώρος των προβλημάτων έχει οριστεί πλήρως, και μπορεί κάποιος να προσεγγίσει τη λύση τους με διαφορετικούς τρόπους.
Όμως το πιο σημαντικό είναι ότι υπάρχει διαφορά στον τρόπο αναπαράστασης των αριθμών μεταξύ των Μαθηματικών, των Αλγορίθμων σε Ψευδογλώσσα και των Υπολογιστών. Αυτό που αναδείξαμε κυρίως στην παρουσίαση ήταν το σφάλμα μηχανής. Ένας αριθμός στον υπολογιστή δεν μπορεί να έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία.

[gpapargi]

Με το όρο γενικευμένη μορφή του θεωρήματος εννοούμε να υπάρχει ρίζα στο α ή στο β, στο κλειστό δηλαδή [α,β].

Κατάλαβα... απλά από μαθηματική άποψη δεν είναι καλή χρήση του όρου «γενικευμένο»... παραπέμπει σε κάτι άλλο που εφαρμόζεται σε πιο πολλές περιπτώσεις. Άλλωστε δεν υπάρχει περίπτωση να είναι ρίζα το α ή το β γιατί τότε το γινόμενο f(α) * f(β) θα ήταν 0. Αφού έχεις γινόμενο αριθμών μη μηδενικό ο καθένας είναι διάφορος του μηδέν.  Η ρίζα είναι στο ανοικτό (γι αυτό το λέει και το θεώρημα).

Εννοώ στην Δραστηριότητα 6.

Είδα Παναγιώτη τη δραστηριότητα 6. Δεν είναι αυτό που είχα στο νου μου πιο πριν (δηλαδή ένα διάστημα που στα άκρα του είναι θετικό το γινόμενο και αναγκάζεσαι να ψάξεις σε μικρότερη περιοχή μήπως βρεις διάστημα με ετερόσημα άκρα.). Εδώ η συνάρτηση είναι μονότονη στο διάστημα που μιλάμε και δεν υπάρχει λόγος για αυτό που λέω.

Για να είμαι ειλικρινής κι εγώ δεν πολυκατάλαβα τη διαίρεση σε 10 υποδιαστήματα και εν συνεχεία σε άλλα 10 κλπ. Από ότι είπε ο Νάσος ήταν κάτι που το ήθελαν οι μαθηματικοί για να υπάρχει συνέχεια με τον τρόπο που δουλεύουν στα μαθηματικά. Υποπτεύομαι ότι θέλουν να φτιάξουν ψηφίο ψηφίο όπως ίσως θα το κάναμε με το χέρι και όχι να φτάσουν γρήγορα στο τελικό αποτέλεσμα με τη διχοτόμηση. 
Αν υπάρχει η δυνατότητα θα ήθελα να ακούσω πως το στήριξαν οι μαθηματικοί.

[Αθανάσιος Πέρδος]

Αν υπάρχει η δυνατότητα θα ήθελα να ακούσω πως το στήριξαν οι μαθηματικοί.

Δες Γιώργο το αρχείο.

[gpapargi]

Ευχαριστώ. Την είδα την εργασία.
Κάνει κάτι σαν αυτό που είπα πιο πριν

Σε ποια συνάρτηση εννοείς Παναγιώτη ότι έσπασε το διάστημα σε 10 κομμάτια;
Γενικά μπορεί αυτό να χρειάζεται κάποιες φορές όταν πχ έχεις μια συνάρτηση που είναι θετική και στα 2 άκρα ενώ υπάρχει ρίζα ανάμεσα (ικανό αλλά όχι αναγκαίο), οπότε πρέπει να κάνεις μια σάρωση μήπως βρεις εσωτερικά 2 σημεία με ετερόσημο πρόσημο.

Η εργασία παίρνει μια τυχαία συνάρτηση (που δεν ξέρει αν τα άκρα έχουν το ίδιο πρόσημο) και σαρώνει με κάποιο βήμα για να εντοπίσει διαστήματα που έχουν ετερόσημα άκρα (και άρα υπάρχει σίγουρα ρίζα). Επιστρέφει τέτοια διαστήματα τα οποία είναι δυνατόν να υποστούν στη συνέχεια περεταίρω επεξεργασία έτσι ώστε να περιοριστεί το διάστημα της ρίζας και να γίνει η ακρίβεια όσο το δυνατόν μεγαλύτερη. (Εγώ εστίασα στην περίπτωση που είναι απολύτως αναγκαίο να γίνει αυτό λόγω ομόσημων τιμών στα άκρα. Στην εργασία του πανεπιστημίου μιλάει για την τυχαία συνάρτηση f οπότε δεν ξέρει το πρόσημο των άκρων ούτε αν υπάρχουν περισσότερες ρίζες και κάνει τη σάρωση για λόγους γενικότητας επειδή δεν ξέρει σε ποια περίπτωση έχει πέσει.) 

Εδώ μπαίνει το θέμα που έθεσε ο Παναγιώτης. Ενώ αναμέναμε δυαδική αναζήτηση στο ήδη εντοπισμένο διάστημα με τα ετερόσημα άκρα, στην εργασία σας συνεχίσατε με τον ίδιο τρόπο δηλαδή νέο σπάσιμο σε 10 τμήματα. Προφανώς γίνεται και έτσι... δεν υπάρχει θέμα λάθους. Απλά νομίζω ότι θα ήταν καλύτερη μια δυαδική αναζήτηση από πλευράς ταχύτητας και κυρίως από παιδαγωγικής σκοπιάς (όπως το βλέπουμε εμείς οι πληροφορικοί). 

[Σπύρος Δουκάκης]

Ευχαριστούμε για τις επισημάνσεις και τις παρατηρήσεις.