Θέμα: 2005 - Θέμα 1.Β.4.

[alkisg]

Η αρχή αυτού του θέματος έγινε στο http://cgi.tripod.com/tosteki/cgi-bin/YaBB.pl?board=LukeioAEPP;action=display;num=1117880220
αλλά το συνεχίζουμε εδώ. Αντιγράφω τα τελευταία που είπε ο Γιώργος για να έχει κάποια ροή η συζήτηση.

Όπως είπα και στην απάντηση στη Φανή ας ονομάσουμε «καθολική λογική» το ότι όταν λέμε ότι κάτι «ισχύει» να εννοούμε ότι αυτό το κάτι «ισχύει πάντα».

Άλκη το πρόβλημα στο συλλογισμό σου εντοπίζεται στο παρακάτω κομμάτι που αντιγράφω με bold.

«Στην εντολή Όσο ΔΕΝ ξέρουμε εκ των προτέρων το πλήθος των επαναλήψεων»  

Αυτό δεν ισχύει πάντα, μπορώ να φέρω πολλά αντιπαραδείγματα. Επομένως μαθηματικά δεν είναι αληθές.

Την καθολική λογική την εφαρμόζουμε όταν λέμε ότι κάτι ισχύει. Δεν μπορείς να την εφαρμόσεις όταν λες ότι κάτι δεν ισχύει. (Θα αναφέρω παρακάτω τι κάνουμε σε αυτή την περίπτωση).  

Με την πρόταση σου Άλκη «Αυτό δεν ισχύει πάντα,. . .» δείχνεις ότι πας να εφαρμόσεις την καθολική λογική όταν λέμε ότι δεν ισχύει κάτι (συγκεκριμένα λέμε ότι δεν ξέρουμε . . .). Εδώ είναι το λάθος σε αυτά που αναφέρεις.

Θα πω παρακάτω το τι κάνουμε για να ελέγξουμε το αν η πρόταση της 1Β4 είναι αληθής ή ψευδής και κυρίως, για λόγους κατανόησης, το τι ακριβώς σημαίνει σαν πρόταση. Από το τι ακριβώς σημαίνει θα γίνει σαφές και με δεύτερο τρόπο το ότι είναι αληθής.

Έστω λοιπόν η πρόταση π1 η οποία είναι ίδια με την 1Β4. Έχουμε λοιπόν:

π1 : «Στην εντολή όσο δεν ξέρουμε εκ των προτέρων το πλήθος των επαναλήψεων»

Εδώ έχουμε να κάνουμε με μια πρόταση που λέει ότι δεν ισχύει κάτι (δηλαδή δεν ξέρουμε το πλήθος των επαναλήψεων) και άρα δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε την «καθολική λογική» .  

Ξεκινάμε λοιπόν από την αντίθετή της π1 (έστω π2) η οποία λέει:

π2 :  «Στην εντολή όσο ξέρουμε εκ των προτέρων το πλήθος των επαναλήψεων»

Η π2 λέει ότι ισχύει κάτι και άρα μπορούμε να εφαρμόσουμε την καθολική λογική. Η π2 λοιπόν σημαίνει:

π2 : Στην εντολή όσο ξέρουμε πάντα το πλήθος των επαναλήψεων».

Η πρόταση αυτή είναι προφανώς ψευδής και άρα η αντίθετή της, η π1, (που είναι ίδια με την 1Β4) είναι αληθής.  
Εδώ καταλήξαμε στην αλήθεια της 1Β4. Αν και αυτό αρκεί, θα συνεχίσουμε την ανάλυση έτσι ώστε να καταλάβουμε τι ακριβώς σημαίνει η π1 και (το σπουδαιότερο) να καταλήξουμε στην αλήθεια της π1 αποκλειστικά και μόνο επειδή καταλάβαμε το τι σημαίνει και όχι επειδή είναι η αντίθετη μιας ψευδούς πρότασης. Οπότε μπορούμε να αγνοήσουμε την παραπάνω φράση που έχω με bold.

Η π2 μπορεί να γραφτεί λίγο διαφορετικά έτσι ώστε να επιτρέψει τη χρήση του προτασιακού λογισμού.

Έχουμε λοιπόν

π2 : «Για κάθε περίπτωση στην εντολή όσο ξέρουμε το πλήθος των επαναλήψεων»
Βάζω μέσα το «για κάθε» σκόπιμα γιατί ο προτασιακός λογισμός μας λέει πως αντιστρέφεται. Τώρα με βάση τον προτασιακό λογισμό βρίσκω την άρνηση της νέας έκδοσης της π2. (Ας πουμε π3 την άρνηση της π2).

π3 : «Υπάρχει τουλάχιστο μια περίπτωση στην οποία δεν ξέρουμε το πλήθος των επαναλήψεων της Όσο»

Αυτό μας το λέει ο προτασιακός λογισμός και δε σηκώνει αμφισβήτηση. Η π3 τώρα πρέπει να μεταφραστεί στα νέα ελληνικά. Η π3 σημαίνει ότι μπορεί να μην ξέρουμε σε 1 ή σε 2 ή σε 3 . . . ή και σε όλες τις περιπτώσεις το πλήθος των επαναλήψεων. Αυτό σημαίνει ότι άλλοτε ξέρουμε και άλλοτε δεν ξέρουμε. Σημαίνει ότι «δεν ξέρουμε πάντα το πλήθος των επαναλήψεων».  
Προσοχή δε σημαίνει ότι «Πάντα δεν ξέρουμε το πλήθος» που είναι το ίδιο με το «Δεν ξέρουμε ποτέ»

Άρα λοιπόν η π3 σημαίνει ότι «Στην εντολή Όσο δεν ξέρουμε πάντα το πλήθος των επαναλήψεων».  
Αλλά με βάση τα παραπάνω έχουμε π3=π1=1Β4 [αυτό γιατί π2=αντίθετη(π1) και π3=αντίθετη(π2)].
Άρα η 1Β4 σημαίνει «Στην εντολή Όσο δεν ξέρουμε πάντα το πλήθος των επαναλήψεων».  
Το οποίο ισχύει και άρα η πρόταση είναι αληθής! Καταλήξαμε στην αλήθεια της 1Β4  από την κατανόηση του νοήματός της.

Αυτό που μπορούμε να κρατήσουμε από τα παραπάνω είναι το ότι:
Όταν έχουμε πολλές περιπτώσεις, το αντίθετο του «ισχύει πάντα κάτι» είναι το «άλλοτε ισχύει και άλλοτε δεν ισχύει κάτι». Μπορεί να μην ισχύει και ποτέ, αλλά αποκλείεται να ισχύει πάντα.

[alkisg]

Γιώργο σκέφτηκα διάφορους τρόπους για να προσπαθήσω να σε πείσω, μάλιστα ακολουθώντας την επιχειρηματολογία σου κατάφερα να αποδείξω ότι true = false. Δυστυχώς χρειάστηκα πάνω από μία σελίδα για να το αποδείξω (και θα έχουμε πολλές διαφωνίες στα ενδιάμεσα βήματα), οπότε ας βολευτώ με το παρακάτω απλό παράδειγμα, στο οποίο σε προτρέπω να εντοπίσεις το λάθος. Κάνω τα ίδια βήματα που έκανες κι εσύ, και ξεκινάω γράφοντας με άλλο ρήμα την πρόταση [1].

[1] Στην εντολή όσο αγνοούμε τον αριθμό των επαναλήψεων => (εφαρμόζω Καθολική Λογική)
[2] Στην εντολή όσο αγνοούμε πάντα τον αριθμό των επαναλήψεων.
Όπως παρατηρείς αυτό είναι ίδιο με το
Πάντα στην εντολή όσο αγνοούμε τον αριθμό των επαναλήψεων
αφού δεν εμπεριέχει την προβληματική λεξούλα "ΔΕΝ" που μαζί με το "ΠΑΝΤΑ" είναι η πέτρα του σκανδάλου.

Συνεχίζω με την πολύ σωστή αντιστροφή και καταλήγω
[3] Υπάρχει τουλάχιστον μία περίπτωση στην οποία ΔΕΝ αγνοούμε τον αριθμό των επαναλήψεων
το οποίο στα ελληνικά είναι προφανώς ταυτόσημο με
[4] Υπάρχει τουλάχιστον μία περίπτωση στην οποία ξέρουμε τον αριθμό των επαναλήψεων.


Προφανώς, η [1] είναι ταυτόσημη με "Στην εντολή όσο ΔΕΝ ξέρουμε τον αριθμό των επαναλήψεων"
Επομένως η [4] σαν αντίθετη θα πρέπει να είναι ίδια με την δικιά σου π2, δηλαδή ότι
"Πάντα στην Όσο ξέρουμε τον αριθμό των επαναλήψεων".

Πού φτάσαμε; το "τουλάχιστον μία" να είναι ίδιο με το "πάντα".



Το λάθος στην παραπάνω λογική, δηλαδή την λογική που έθεσες, είναι η εφαρμογή της μυστηριώδους συνάρτησης "ΚΑΘΟΛΟΓΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ". Δεν το λέω εμπαικτικά, σε αυτό το σημείο είχα αντίρρηση εξ' αρχής. Η συνάρτηση αυτή (το να λέμε ότι η λέξη πάντα εννοείται) είναι μονόδρομη (μη αντιστρέψιμη). ΔΕΝ μπορούμε να την χρησιμοποιήσουμε σε ισοδυναμίες, αποδείξεις (εκτός από απαγωγή σε άτοπο) κτλ. Μια γρήγορη αποσαφήνιση γιατί αυτό είναι σημαντικό. Ορίζω την συνάρτηση ΠρόσθεσηΨηφίων, όπου προσθέτω όλα τα ψηφία ενός αριθμού, και έχω:

[5] 135 = 621 (προφανώς ψευδές, θα "αποδείξω" με εσφαλμένη απόδειξη το αντίθετο) =>
ΠρόσθεσηΨηφίων(135) = ΠρόσθεσηΨηφίων(621) <=>
[6] 9 = 9 (προφανώς αληθές)
Είναι σαν να λες ότι αφού ισχύει η [6] ισχύει και η [5]. Αυτό θα ίσχυε μόνο αν είχαμε παντού ισοδυναμίες και καμία συνεπαγωγή. Αφού η πρόσθεση ψηφίων δεν είναι αντιστρέψιμη συνάρτηση, δεν έχουμε ισοδυναμία και άρα η απόδειξή μου (προφανώς) είναι λάθος. Το ίδιο συμβαίνει και με την Καθολογική Λογική. Ούτε αντιστρέψιμη είναι, ούτε μπορεί να εφαρμοστεί σε όλο το πεδίο τιμών (αφού παραδέχτηκες ότι δεν εφαρμόζεται σε προτάσεις που περιέχουν ΔΕΝ).

[gpapargi]

Θα σου πω Άλκη ποιο είναι το προβληματικό σημείο στο συλλογισμό σου.

Σύμφωνα με αυτά που γράφεις θεωρείς την πρόταση

[1] : «Στην εντολή όσο αγνοούμε τον αριθμό των επαναλήψεων»
αντίθετη με την
"Στην εντολή όσο ξέρουμε τον αριθμό των επαναλήψεων"
και ίδια με την
"Στην εντολή όσο ΔΕΝ ξέρουμε τον αριθμό των επαναλήψεων"

Αυτά ισχύουν αλλά στη νέα ελληνική γλώσσα. Δεν ισχύει στα μαθηματικά, γιατί αν και φαίνεται να αντιστρέφεται στο νόημα, δεν αντιστρέφονται οι μαθηματικές ιδιότητες που συνοδεύουν την κάθε πρόταση.
Είναι πολύ λεπτό αυτό το σημείο. Είναι γνωστό και το λέμε συνέχεια ότι οι φυσικές γλώσσες περιέχουν ασάφειες. Εσύ σε αυτό το σημείο κάνεις γλωσσική αντιστροφή και όχι μαθηματική. Κάτι τέτοιο είναι εξαιρετικά επικίνδυνο γιατί εισάγεις τις ασάφειες που εμπεριέχει η φυσική γλώσσα που δεν είναι μαθηματικά περιγράψιμη πλήρως.

Ο προτασιακός λογισμός αναπτύχθηκε ακριβώς για αυτό το λόγο. Αν δεις πως κάνω εγώ την αντιστροφή θα δεις ότι την κάνω μόνο μέσω του προτασιακού λογισμού και όχι γλωσσικά. Η μόνη περίπτωση που κάνω γλωσσική αντιστροφή είναι βάζοντας το «ΔΕΝ» μπροστά από το ίδιο ρήμα και ΠΟΤΕ αλλάζοντας το ρήμα.
Δηλαδή δεν ακολούθησες ακριβώς την επιχειρηματολογία μου γιατί άλλαξες το ρήμα. Ακριβώς την ώρα που έβαλες στο παιχνίδι το ρήμα «αγνοώ» ως αντίθετο του ρήματος «ξέρω» έκανες γλωσσική και όχι μαθηματική αντιστροφή.
Ο μόνος τρόπος να κάνεις γλωσσική αντιστροφή που να είναι και μαθηματική ταυτόχρονα (και άρα ασφαλής) είναι να βάλεις μπροστά τη λέξη «ΔΕΝ». Και αυτό γιατί έτσι ορίζεται η αντιστροφή και αν δεν υπήρχε αυτό θα χάναμε την επαφή μεταξύ μαθηματικής και γλωσσικής περιγραφής κατά την αντιστροφή.

Αυτό που απέδειξες Άλκη δεν είναι ότι η καθολική λογική είναι κάτι λανθασμένο. Αυτό που απέδειξες είναι ότι η καθολική λογική έρχεται σε αντίθεση με την δυνατότητα να κάνουμε γλωσσική αντιστροφή αλλάζοντας το ρήμα.

Εδώ δηλαδή υπάρχει ένα δίλημα και κάποιος πρέπει να διαλέξει μεταξύ 2 επιλογών:

Επιλογή 1
Όταν λέμε ότι ισχύει κάτι εννοούμε ότι ισχύει πάντα αυτό το κάτι. Αυτό το βάφτισα (για να το λέμε κάπως) καθολική λογική.

Επιλογή 2
Έχουμε το δικαίωμα να αντιστρέφουμε μια πρόταση αλλάζοντας το ρήμα δηλαδή ορίζοντας ένα ρήμα αντίθετο από το προηγούμενο. Ας το λέμε αυτό ελεύθερη γλωσσική αντιστροφή για να το ξεχωρίσουμε από τη γλωσσική αντιστροφή που γίνεται με τη λέξη «ΔΕΝ».

Η επιλογή 1 δεν είναι δική μου ιδέα. Την εφαρμόζουν όλοι οι μαθηματικοί. Αν καταφέρεις και την καταρίψεις δε θα αποδείξει μόνο ότι εγώ κάνω λάθος. Θα εκθέσεις όλους τους μαθηματικούς του κόσμου.

Αντίθετα για την επιλογή 2 είναι αποδεκτό γεγονός το ότι η φυσικές γλώσσες εμπεριέχουν ασάφειες. Οι ασάφειες αυτές είναι συνυφασμένες με την ίδια τους τη δομή. Δεν μπορείς να τις αποφύγεις όσο καλός φιλόλογος και να είσαι. Από τη στιγμή που μια γλώσσα παρέχει το δικαίωμα της ελέυθερης γλωσσικής αντιστροφής η αποφυγή της ασάφειας είναι πρόβλημα άλυτο.

Για αυτόν ακριβώς το λόγο είχα πει σε κάποιο προηγούμενο post ότι θα πρέπει να αποφασίσουμε αν διαβάζουμε μια πρόταση μαθηματικά ή γλωσσικά. Εκεί είναι το θέμα.
Εγώ διάβαζα την πρόταση μαθηματικά. Εσύ δεν το έκανες πάντα. Δηλαδή στην πρόταση
«Ένα τρίγωνο έχει άθροισμα γωνιων 180 μοίρες» αποδεχόσουν ότι αυτό εννοεί για όλα τα τρίγωνα. Εδώ επειδή το αντικείμενο είναι μαθηματικό διάβαζες την πρόταση μαθηματικά.
Όταν όμως διάβαζες την πρόταση
«Ο άντρας είναι πιο δυνατός μυικά από τη γυναίκα» δεν έκανες τη γενίκευση αλλά εννοούσες κάτι σαν τη μέση περίπτωση. Εδώ προφανώς επειδή δεν είναι μαθηματικό το αντικείμενο δεν διάβαζες την πρόταση μαθηματικά αλλά γλωσσικά.

Νομίζω ότι είναι σαφές που είναι το πρόβλημα: Στο αν τελικά θα διαβάζουμε τις προτάσεις μαθηματικά ή γλωσσικά. Αυτό νομίζω ότι πρέπει να κουβεντιάσουμε.

Με πολύ φιλική διάθεση

[P.Tsiotakis]

Η πρόταση "Στην δομή Όσο γνωρίζουμε το πλήθος των επαναλήψεων" είναι λάθος

Η πρόταση "Στην δομή Όσο δεν γνωρίζουμε το πλήθος των επαναλήψεων" είναι σωστή

Δείτε τα εσπερινά, αλλά να κάθεστε καλύτερα  
http://users.kor.sch.gr/ptsiotakis/aepp/aepp_panel_esp_2005.htm

[alkisg]

Παναγιώτη διαφωνώ με αυτό που λες, νομίζω ότι και οι δύο προτάσεις είναι ασαφείς, κι αυτό είναι που προσπαθώ να αποδείξω στον Γιώργο.

Γιώργο η άποψή μου είναι ότι η «καθολική λογική» δεν είναι μαθηματικά, είναι ασαφή ελληνικά. Εσύ πάλι αυτό το λες μαθηματική βάση. Έτσι δεν πρόκειται να βγάλουμε άκρη. Ας μαθηματικοποιήσουμε λοιπόν πλήρως το ζήτημα και ας αφήσουμε τελείως έξω από την συζήτησή μας τα λεκτικά, ώστε να μπορέσουμε να αποδείξουμε αυτά που λέμε.

Γράφω παρακάτω τις μαθηματικές μεταφράσεις όσων έχεις πει. Όπου δεν έχω καταλάβει καλά διόρθωσέ με. Το σκεπτικό μου είναι να μεταφέρουμε στα μαθηματικά όλα όσα έλεγες ώστε σε επόμενο post να κάνω μία πλήρως μαθηματική απόδειξη.

Έστω πρόταση π(ι) με

• το πεδίο ορισμού της να είναι διακριτό απειροσύνολο, όπου το ι εκφράζει όλες τις δυνατές περιπτώσεις της (σαν να λέμε όλες οι δυνατές περιπτώσεις της εντολής Όσο), και
  
• το πεδίο τιμών της να είναι {false, true} δηλαδή η π(ι) είτε δεν ισχύει είτε ισχύει (σαν να λέμε ΞΕΡΟΥΜΕ το πλήθος των επαναλήψεων ή όχι).

Ορίζω α(ι) = not π(ι) την αντίστροφή της, η οποία προφανώς υπάρχει και ορίζεται από τον παραπάνω ορισμό για κάθε ι στο κοινό πεδίο ορισμού. Βέβαια διαφωνούμε στο πώς αυτή εκφράζεται στα ελληνικά, αλλά αυτό δεν με ενδιαφέρει, θα μιλήσω μόνο μαθηματικά.

Η αρχική έκφραση που δίνεται για απόδειξη είναι:

[1] Δείξτε ότι π(ι) = true.

Για μένα αυτό είναι λάθος εκφώνηση. Κανένας σοβαρός μαθηματικός δεν θα έδινε τέτοια άσκηση (και ευτυχώς δεν έχω ακούσει κανέναν να το κάνει, εκτός από τώρα στο 1.B.4). Το σωστό που λέτε ότι εννοείται είναι φυσικά

[2] Δείξτε ότι π(ι) = true για κάθε ι στο πεδίο ορισμού της π.

Θεωρώ την πρόταση

[3] Δείξτε ότι not π(ι) = true.

Αυτό είναι σαν να λέμε αντίστοιχο του «Δείξτε ότι ΔΕΝ ξέρουμε ότι...». Σε αυτό το σημείο υπάρχει ασάφεια αν εννοούμε not (π(ι) = true) ή (not π(ι)) = true. Όμως αν κάνετε τον πίνακα αληθείας θα δείτε ότι οι δύο τελευταίες εκφράσεις είναι ισοδύναμες και δεν υπάρχει ασάφεια.

Για να δω τώρα Γιώργο αν κατάλαβα καλά αυτά που λες. Είπες ότι όταν υπάρχει το ΔΕΝ (το not) τότε το «για κάθε» που εννοείται ΔΕΝ μπαίνει ως εξής

[4] (not π(ι) = true) για κάθε ι στο πεδίο ορισμού της π,
αλλά
[5] not (π(ι) = true για κάθε ι στο πεδίο ορισμού της π)

Δηλαδή αν στην αρχή της πρότασης υπάρχει αντιστροφή (ο τελεστής not), τότε πρέπει να βγάλουμε το not, να δούμε αν αυτό που μένει ισχύει για όλες τις περιπτώσεις, και το τελικό «συγκεντρωτικό» αποτέλεσμα να το αντιστρέψουμε. Αυτή η μεθοδολογία μου φαίνεται «μαθηματικά περίεργη» αλλά δεν υπάρχει πρόβλημα, την δέχομαι για την ώρα και θα αποδείξω ότι είναι λανθασμένη σε επόμενο post.

Προσέξτε ότι τόση ώρα δεν έχω προσδιορίσει ΚΑΘΟΛΟΥ την πρόταση π(ι). Ξεχάστε τα ρήματα ΞΕΡΟΥΜΕ, ΔΕΝ ΞΕΡΟΥΜΕ, ΑΓΝΟΟΥΜΕ κτλ. Βγάλτε και όλες τις επεξηγήσεις που δίνω και αφήστε μόνο τις μαθηματικές προτάσεις.

Ερώτηση κλειδί: Γιώργο, για την αντίστροφη της π(ι), δηλαδή την α(ι), ποια «καθολική λογική» μπορώ να εφαρμόσω; Την [2], την [5] ή κάποια άλλη; Λογικά θα πρέπει να μπορώ να εφαρμόσω την [2], αφού η α(ι) είναι απλά μια πρόταση με ένα συγκεκριμένο πεδίο τιμών. Δεν έχει σημασία ότι είναι η αντίθετη της π(ι), και οι δύο είναι αντίθετες, θα μπορούσα να τις έχω ορίσει "ανάποδα".

Επομένως Γιώργο θέλω να μου δώσεις τις βάσεις για να κάνω μια πλήρως μαθηματική απόδειξη. Για να προσπαθήσω να αποδείξω ότι η καθολική λογική είναι λανθασμένη χρειάζομαι τα παρακάτω:

• Πώς εφαρμόζεται η καθολική λογική στην πρόταση
  «Δείξτε ότι π(ι) = true»
  
• Πώς εφαρμόζεται η καθολική λογική στην πρόταση
  «Δείξτε ότι not π(ι) = true»
  
• Πώς εφαρμόζεται η καθολική λογική στην πρόταση
  «Δείξτε ότι α(ι) = true»

Ξέχνα τελείως τα ελληνικά και γράψε μου μαθηματικά πού εννοείται το «για κάθε» στις παραπάνω τρεις προτάσεις.

[gpapargi]

Καλησπέρα

Νομίζω ότι κατάλαβα που είναι η παρεξήγηση. Βέβαια αυτό το λέω κάθε φορά αλλά τώρα δεν μπορώ να φανταστώ ότι δε θα βγάλουμε άκρη

Άλκη η πρόταση [1] «Δείξτε ότι π(ι) = true» είναι προφανώς λάθος εκφώνηση γιατί λοίπει ο ποσοσδείκτης που θα μας πει για ποια ι μιλάει η πρόταση. Η [1] δεν είναι καλώς ορισμένη πρόταση και η κατάσταση είναι ίδια με εκείνη που μου είχες γράψει στην αρχή (ι>0 με ι ακέραιο). Προφανώς σωστή εκφώνηση είναι η [2] «Δείξτε ότι π(ι) = true για κάθε ι στο πεδίο ορισμού π».
Πράγματι κανένας σοβαρός άνθρωπος δε θα έδινε την [1]. Πουθενά δε θα δεις την [1] παρά μόνο σαν παράδειγμα φράσης που δεν είναι πρόταση. Σε αυτό δε θα μπορούσα να συμφωνώ περισσότερο.
Αλλίμονο αν έλεγα ότι η πρόταση «Σε ένα τρίγωνο το άθροισμα των γωνιών είναι 180 μοίρες» γράφεται σαν «Δείξτε ότι π(ι) =  true» με ι το τρίγωνο και π(ι) την τελευταία πρόταση.

Η πρόταση [1] δεν είναι πρόταση σαφής και καμία γλωσσική περιγραφή δεν την έχει σαν αντίστοιχο συμβολισμό της στον προτασιακό λογισμό. Αν έκανα κάτι τέτοιο ξέρω πολύ καλά πως θα συνέχιζες διότι σε μια καθαρά φορμαλιστική γραφή η πρόταση και η αντίθετή της είναι απλά αντίθετες και δεν έχει νόημα να μιλάμε για το ποια είναι η κατάφαση και ποια η άρνηση. Με πολλόυς τροπους θα μπορούσαμε να οδηγηθούμε σε άτοπο. Αυτό που θα έκανα εγώ θα ήταν να εφάρμοζα την «καθολική λογική» στην π(ι) και στην α(ι) και θα έδειχνα ότι η αντίθετη πρόταση του να συμβαίνει κάτι πάντα θα ήταν να μη συμβαίνει ποτέ. Έτσι μια πρόταση που έλεγε ότι κάτι συμβαίνει μερικές φορές (καθορίζοντας ποιες είναι αυτές για να υπάρχει σαφήνεια) δε θα καλυπτόταν ούτε από μια πρόταση αλλά ούτε και από την άρνησή της. Επίσης μπορείς να καταλήξεις σε ένα σωρό άλλες καταστάσεις όπως true=false κλπ.

Μέχρι εδώ είμαι βέβαιος ότι συμφωνούμε απόλυτα. Αλλά δεν είπα ποτέ κάτι τέτοιο! Δεν εφάρμοσα ποτέ αυτό που ονόμασα καθολική λογική σε μια φορμαλιστική μορφή διότι τότε θα έπρεπε να την εφαρμόσω πάνω σε κάτι που είναι ασαφές και άρα δεν έχει θέση μέσα στο μαθηματικό συμβολισμό. Πως θα μπορούσα να εφαρμόσω κάτι πάνω σε κάτι ανύπαρκτο; Η [1] που γράφεις παραπάνω είναι κάτι που δεν υπάρχει.

Η καθολική λογική εφαρμόζεται μόνο σε γλωσσικές περιγραφές. Δεν είναι παρά αυτό που κάνουν οι μαθηματικοί να θεωρούν ότι η γλωσσική πρόταση
π1: «Σε ένα τρίγωνο το άθροισμα των γωνιών είναι 180 μοίρες»
είναι ισοδύναμη με την
π2 : «Σε κάθε τρίγωνο το άθροισμα των γωνιών είναι 180 μοίρες»
Η π1 δεν έχει έκφραση στη μαθηματική γραφή και θα ήταν ασαφής γλωσσικά αν δεν υπηρχε αυτό που ονόμασα καθολική λογική. Η καθολική λογική δεν είναι παρά μια ΣΥΜΒΑΣΗ που κάνουν οι μαθηματικοί για να διαβάζουν γλωσσικες παραστάσεις και να τις μετατρέπουν σε ισοδύναμες γλωσσικά οι οποίες όμως είναι πια δυνατό να γραφτούν με μαθηματικό συμβολισμο. Θα μπορούσα ίσως πιο εύστοχα να την ονομάσω «σύμβαση γενίκευσης» αντί για «καθολική λογική». Αυτή η σύμβαση γενίκευσης δεν είναι κάτι αυθαίρετο. Προκύπτει απο τη μαθηματική δεοντολογία που θέλει ένα μαθηματικό να λέει ότι κάτι ισχύει μονάχα όταν αυτό ισχύει πάντα και άρα αποτελεί καθολική μαθηματική αλήθεια. Ποτέ ένας μαθηματικός από τη δεοντολογία του δε θα έλεγε ότι κάτι ισχύει αν αυτό δεν ισχυε καθολικά, σε όλες τις περιπτώσεις. Αυτή η καθολικότητα είναι που με έκανε να το βαφτίσω (για να έχουμε κάπως να το λέμε) καθολική λογική. Αυτά τα είπα εξαρχής όπως μπορείς να δεις σε παλαιότερες αποστολές μου. Ουδέποτε είπα ότι η καθολική λογική είναι κάτι που περιέχεται στον προτασιακό λογισμό. Είπε από την αρχή ότι προκύπτει από τη μαθηματική δεοντολογία και χρησιμοποιείται από όλους τους μαθηματικούς του κόσμου.

Θα τα πω και με ένα παράδειγμα για να δείξω τι εννοώ (ίσως είναι πλεονασμός αλλά εδώ που φτάσαμε νομίσω ότι όσο πιο αναλυτικοί είμαστε τόσο πιο σύντομα θα τελιώσουμε):
Έστω η γλωσσική περιγραφή: π3 : «Στην εντολή Όσο ξέρουμε το πλήθος των επαναλήψεων»
Γλωσσικά είναι ασαφής (το είπα εξαρχής) και δεν έχει αντίστοιχο στο μαθηματικό συμβολισμό.
Οι μαθηματικοί όμως κατά σύμβαση (που προκύπτει από την δεοντολογία τους) όταν λένε ότι κάτι ισχύει εννούν ότι κάτι ισχύει πάντα. Έτσι εφαρμόζουν την «καθολική λογική» και μεταρτρέπουν την ασαφή γλωσσικά και μη περιγράψιμη μαθηματικά περιγραφή π3 στην ισοδύναμη για αυτούς
π4 : «Στην εντολή Όσο γνωρίζουμε πάντα το πλήθος των επαναλήψεων». Αυτή είναι σαφής γλωσσικά και έχει μαθηματική περιγραφή. Πρόσεξε ότι η καθολική λογική εφαρμόστηκε πάνω σε μια γλωσσική και όχι πάνω σε μια μαθηματική περιγραφή.
Όλα αυτά που έγραψες εσύ Άλκη εφαρμόζονται από κει και ύστερα δηλαδή από το σημείο που έχουμε στη διάθεσή μας μαθηματική περιγραφή.

Πιστεύω και ελπίζω (για να τελειώνουμε πιο γρήγορα) ότι η παρεξήγηση έγινε στο εξής σημείο: Όταν εγώ είπα ότι το θέμα είναι αν θα διαβάσουμε την πρόταση μαθηματικά ή γλωσσικά εννοούσα αν θα χρησιμοποιήσουμε τη σύμβαση των μαθηματικών να μετατρέπουν την π1 σε π2. Δεν εννοούσα  ότι η καθολική λογική εφαρμοζεται μέσα στη μαθηματική περιγραφή της πρότασης. Εσύ κατάλαβες το δεύτερο και διαφώνησες.

Για μένα λοιπόν το θέμα είναι αν έχουν οι μαθηματικοί το δικαίωμα να εννοούν την πρόταση
«Σε ένα τρίγωνο το άθροισμα των γωνιών είναι 180 μοίρες» σαν «Σε όλα τα τρίγωνα το άθροισμα των γωνιών είναι 180 μοίρες». Για μένα το έχουν το δικαίωμα γιατί το βλέπουμε σε όλα τα βιβλία και ειλικρινά δεν έχω καταλάβει αν συμφωνείς ή όχι (τώρα που ξεκαθάρισα το πεδίο εφαρμογής του) και γιατί.

[lsourtzo]

paides .... signomi pou epembenw kiolas ....
h epistimoniki sas analisi me exei afisei afono ... toso pou pragmatika diskoleuomai na thn parakolouthisw !!!
nomizw oti to analiete perisotero apo oti prepei to thema ... ta pragmata einai apla ...
sigoura to thema afine ena perithorio na ermineuti kai me diaforetiko tropo ...alla h profanis tou eksigisi einai auti gia tin opoia dothike ...

h elliniki glossa (sthn kathomiloumeni) einai asafis apo thn fisi tis ... kai sigoura tha prepei na eimaste ligo prosektikoi otan diatiponoume themata ...
theoro pantos oti exoun ginei kai megalitera sfalmata diatiposis apo auto !!
prosopika den nomizw oti tha dimiourgisei problima sthn sintriptiki pliopsifia ton mathiton.

eksalou h gnosi tou antistixou simiou tis theorias den afine perithoria parerminias!!
h diafora pou exoun h Gia me thn Oso einai oti sthn mia gnorizoume poses fores tha ginei h epanalipsei panta eno sthn alli oxi panta !!
opote akoma kai an katopin spoudeas analiseis kataligoume oti einai asafeis to erotima 1.b.4 me thn proti matia kanei mpam oti apeuthinete sto sigekrimeno komati tis theorias !!
filika
leonidas

[gpapargi]

Σε αυτό φίλε μου ταυτίζομαι απόλυτα με την άποψη του Άλκη. Το θέμα δεν είναι πια το 1Β4. Αυτό, καλώς ή κακώς έπεσε μια φέτος, δεν φαίνεται να μπέρδεψε και πολύ τους μαθητές (ίσως μπέρδεψε τους πιο ψαγμένους) και δεν έγινε αντικείμενο μεγάλου καυγά (ίσως γιατί δεν επηρέαζε πολύ βαθμολογικά).

Η κουβέντα τώρα είναι για το αν μια τέτοια εκφώνηση είναι ή  όχι σαφής και από ποια άποψη. Ειλικρινά θα ήθελα να καταλήξουμε κάπου σε αυτό, τόσο για τις επόμενες χρονιές όσο κυρίως για την ίδια μας την κατανόηση πάνω στο θέμα σαν παρέα πληροφορικών.

[alkisg]

Χε χε Γιώργο τα ελληνικά έκαναν πάλι το θαύμα τους και μετά από αρκετές μέρες και αρκετά post φαίνεται ότι η διαφωνία μας προήλθε από λεκτική παρεξήγηση :-)

Λοιπόν όντως όταν είπες να διαβάσουμε την πρόταση μαθηματικά, εγώ νόμισα να την διαβάσουμε σαν να ήταν έκφραση προτασιακού λογισμού και όχι όπως την εννοούνε οι μαθηματικοί που βαριούνται να αναφέρουν το πεδίο ορισμού των προτάσεών τους . Το τελευταίο για μένα είναι καθαρά θέμα σύμβασης και στο αν είναι γενικά αποδεκτό ή όχι αρμόδια να απαντήσει θα ήταν μια επιτροπή από μαθηματικούς και φιλολόγους (οι οποίοι πιθανώς δεν θα κατέληγαν σε κοινό συμπέρασμα ;-)).

Επομένως εγώ δεν έχω να πω κάτι άλλο πάνω στο θέμα, και μάλιστα τα προηγούμενα posts μου ήταν χωρίς ουσιαστικό αντικείμενο, αφού νόμιζα ότι η διαφωνία μας ήταν μαθηματική και όχι ερμηνευτική.

Για λόγους αποσαφήνισης (αν συμφωνώ τελικά μαζί σου "φιλολογικά") αναφέρω παρακάτω την δική μου λεκτική ερμηνεία διαφόρων προτάσεων. Είναι τελείως υποκειμενική και δεν θα χρειάζεται καν να την υποστηρίξω, ο καθένας μπορεί να έχει την δική του.

ΠΡΩΤΟΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΣ ΚΑΙ ΥΠΟΚΕΙΜΕΝΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΑΣ ΑΛΚΗ: Ένας μαθηματικός δεν δικαιούται ποτέ να δίνει ασαφείς προτάσεις, εκτός από την περίπτωση που βαριέται υπερβολικά πολύ . Στην περίπτωση αυτή επιτρέπεται να παραλείψει την φράση "ισχύει πάντα ότι..." από μια πρόταση π, αν και μόνο αν αυτό εννοείται έτσι:
(ισχύει πάντα ότι)(π).

Επομένως:
1) Στην εντολή όσο ξέρουμε τον αριθμό των επαναλήψεων <=>
   (Ισχύει πάντα ότι) (Στην εντολή όσο ξέρουμε τον αριθμό των επαναλήψεων)
   = ΨΕΥΔΗΣ

2) Στην εντολή όσο ΔΕΝ ξέρουμε τον αριθμό των επαναλήψεων <=>
   (Ισχύει πάντα ότι) (Στην εντολή όσο ΔΕΝ ξέρουμε τον αριθμό των επαναλήψεων)
   = ΨΕΥΔΗΣ

3) Στην εντολή όσο ΑΓΝΟΟΥΜΕ τον αριθμό των επαναλήψεων <=>
   (Ισχύει πάντα ότι) (Στην εντολή όσο ΑΓΝΟΟΥΜΕ τον αριθμό των επαναλήψεων)
   = ΨΕΥΔΗΣ

4) Στην εντολή όσο ΔΕΝ ΑΓΝΟΟΥΜΕ τον αριθμό των επαναλήψεων <=>
   (Ισχύει πάντα ότι) (Στην εντολή όσο ΔΕΝ ΑΓΝΟΟΥΜΕ τον αριθμό των επαναλήψεων)
   = ΨΕΥΔΗΣ

5) Στα ελληνικά ΔΕΝ ΑΓΝΟΟΥΜΕ ΤΟ ΓΕΓΟΝΟΣ ΟΤΙ ΔΕΝ ΞΕΡΟΥΜΕ ΠΑΝΤΑ ΟΤΙ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΠΑΝΤΑ ΠΡΟΦΑΝΗΣ η σημασία μιας πρότασης <=>
   (Ισχύει πάντα ότι) (Στα ελληνικά ΔΕΝ ΑΓΝΟΟΥΜΕ ΤΟ ΓΕΓΟΝΟΣ ΟΤΙ ΔΕΝ ΞΕΡΟΥΜΕ ΠΑΝΤΑ ΟΤΙ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΠΑΝΤΑ ΠΡΟΦΑΝΗΣ η σημασία μιας πρότασης)
   = ΨΕΥΔΗΣ ;-). Απλά ήθελα να δείξω ότι δεν με ενδιαφέρει να καταλάβω την πρόταση για να δω πού θα της προσθέσω το (Ισχύει πάντα ότι). Θα με ενδιέφερε όμως να δω πώς θα εφάρμοζε ένας μαθηματικός την καθολική λογική στην παραπάνω πρόταση!!!

Αυτά είναι που θα απαντούσα στις ερωτήσεις αυτές αν έδινα πανελλήνιες, και φυσικά δεν θα περνούσα ούτε στην ανθυποσχολή κουνουποκαλλιεργητών (θεωρώ όμως ότι γι' αυτό θα έφταιγε η επιτροπή που θα έβαζε τα ασαφή θέματα). Άντε, υπάρχει και μια μικρή πιθανότητα να είχα μάθει παπαγαλία το βιβλίο και διαισθητικά να καταλάβαινα τι θέλει να πει ο ποιητής ...εεεε... εξεταστής.

ΔΕΥΤΕΡΟΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΣ ΚΑΙ ΥΠΟΚΕΙΜΕΝΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΑΣ ΑΛΚΗ: Το ΛΕΚΤΙΚΑ αντίθετο της πρότασης «ισχύει πάντα ότι ξέρουμε...» είναι το «ισχύει πάντα ότι δεν ξέρουμε...». Ή αλλιώς για να το κάνω πιο σαφές, το αντίθετο του «π(ι)=true για κάθε ι» είναι το «π(ι)=false για κάθε ι». Δηλαδή ΔΕΝ αντιστρέφω το «για κάθε ι» ώστε να γίνει «υπάρχει τουλάχιστον ένα ι». Προφανώς με αυτόν τον κανόνα ΔΥΟ ΛΕΚΤΙΚΑ ΑΝΤΙΘΕΤΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΜΠΟΡΟΥΝ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΚΑΙ ΟΙ ΔΥΟ false. Αυτό δεν το θεωρώ περίεργο, αφού ΔΕΝ μιλάμε για αντιστροφή boolean συναρτήσεων (στις οποίες αν η μία είναι true η άλλη είναι false), αλλά μιλάμε για το λογικό AND όλων των τιμών τους.
Αντίστοιχα, η έκφραση «Τις περισσότερες φορές ισχύει» έχει σαν λεκτικό αντίθετο το «Τις περισσότερες φορές δεν ισχύει» αφού πάλι δεν μεταβάλλω το για ποια ι μιλάω αλλά μόνο την πρόταση.

Γιώργο ΠΡΟΤΙΜΩ αυτούς τους κανόνες από τους δικούς σου γιατί έχουν την ιδιότητα ότι μπορώ να βάλω το «αγνοώ» σαν αντικαταστάτη του «δεν ξέρω» σε ΟΠΟΙΑΔΗΠΟΤΕ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ, το οποίο είναι το ίδιο που κάνω και στα καθημερινά ελληνικά. Εσύ αντίστοιχα προτιμάς η λεκτική αντιστροφή του true να δίνει πάντα false... γούστα!!!

ΤΡΙΤΟΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΣ ΚΑΙ ΥΠΟΚΕΙΜΕΝΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΑΣ ΑΛΚΗ: Οι "συνηθισμένοι" άνθρωποι δικαιούνται να λένε ή να εννοούνε «ισχύει ότι» ακόμα κι αν δεν ισχύει πάντα, αρκεί να ισχύει στις περισσότερες περιπτώσεις. Π.χ. «Οι άντρες είναι πιο ψηλοί από τις γυναίκες».
Αυτό αν ειπωθεί από έναν φιλόλογο το εκλαμβάνω ως ΑΛΗΘΕΣ αφού ισχύει στο μεγαλύτερο ποσοστό.
Αν δωθεί όμως σαν πρόταση από έναν μαθηματικό, τότε απαντάω ΨΕΥΔΕΣ αφού δεν ισχύει πάντα.

ΤΕΤΑΡΤΟΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΣ ΚΑΙ ΥΠΟΚΕΙΜΕΝΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΑΣ ΑΛΚΗ: Δεν έχει κανένα νόημα να προσπαθούμε να φτάσουμε σε ένα καθολικά αποδεκτό σύνολο ερμηνείας των ελληνικών :-). Ολόκληρες θρησκείες έχουν γεννηθεί από διαφορετικές ερμηνείες των γραφών :-). Θα πρέπει πρώτα να οριστεί μία syntax error free ανθρώπινη γλώσσα και μετά να συνεχίσουμε την συζήτηση . Γι' αυτό τους παραπάνω κανόνες συνήθως τους κρατάω για τον εαυτό μου και μόνο ;-).

Ανεξάρτητα από το αποτέλεσμα, χάρηκα ιδιαίτερα την συζήτηση, η λογική ανάλυση μιας ελληνικής πρότασης είναι κάτι που σίγουρα δεν θα μπορούσα να κάνω με κανέναν φιλόλογο

Άντε, back to work!

[gpapargi]

Ωραία, φαίνεται πως εντοπίστηκε το σημείο της διαφωνίας. Η διαφωνία μας έχει και ουσία βέβαια.
Καταρχήν συμφωνώ στο ότι η σύμβαση των μαθηματικών να λένε ότι κάτι ισχύει και να εννοούν ότι ισχύει πάντα, δείχνει μάλλον την τεμπελιά να γράψουν το πεδίο ορισμού. Θα ήθελα όμως να τονίσω 2 πράγματα:

1) Από τη στιγμή που αποφασίσαμε να μεταφράσουμε τη φυσική γλώσσα σε μαθηματική μορφή, κάποιος έπρεπε να κάνει τη μετάφραση. Αυτός ο κάποιος είναι οι μαθηματικοί και όχι βέβαια οι φιλόλογοι. Θέλω να πω ότι η ερμηνεία της φυσικής γλώσσας έτσι ώστε να μετατραπεί σε μαθηματική μορφή δεν είναι κάτι έξω από την αρμοδιότητα των μαθηματικών. Εκεί πάνω στην ερμηνεία κάνανε και τη σύμβαση της γενίκευσης από «ισχύει» σε «ισχύει πάντα». Καλώς ή κακώς την έκαναν. Δεν την έκανα εγώ. Αλλά δεν μπορώ να μην τη δεχτώ αφού είναι κάτι το γενικά αποδεκτό.

2) Η σύμβαση αυτή δεν οδηγεί σε ασάφειες. Δηλαδή από τη στιγμή που θα την αποδεκτούμε δεν πρόκειται να πέσουμε σε αντιφάσεις. Όλα τα συμπεράσματά μας θα είναι σύμφωνα με τη μαθηματική λογική.

Ουσιαστικά αυτή η σύμβαση είναι η μόνη αμαρτία που κάνει αυτή η προσέγγιση. Όλα τα άλλα είναι απόλυτα αυστηρά μαθηματικά.
Με βάση αυτή την προσέγγιση δεν μπορείς να αντιστρέψεις μια πρόταση «γνωρίζω ότι» σε «αγνοώ ότι», διότι η αντιστροφή είναι γλωσσική (με ορισμό του αντίθετου ρήματος). Για αυτό όμως δε φταίνε τα μαθηματικά αλλά η ασάφεια που είναι συνυφασμένη με τη φυσική γλώσσα. Συγκεκριμένα η ιδιότητα του να ορίζεις το αντίθετο ρήμα έρχεται σε σύγκρουση με τα μαθηματικά συμπεράσματα.

Από την άλλη μεριά η δική σου προσέγγιση Άκη έχει το εξής κακό: Η αντίθετη μιας ψευδούς πρότασης μπορεί να είναι μια ψευδής πρόταση. Αυτό για μένα δεν είναι αποδεκτό γιατί δεν συμβαδίζει με τα μαθηματικά.

Θέλω να πω ότι η δική μου προσέγγιση καταρχήν δεν είναι δική μου. Είναι ο τρόπος που κάνουν την ερμηνεία της φυσικής γλώσσας οι μαθηματικοί. Κάνανε μια σύμβαση (καλώς ή κακώς) αλλά απο κει και πέρα όλα τα συμπεράσματά τους είναι 100% μαθηματικά και σύμφωνα με τη λογική. Δε θα βρεις καμία διαφωνία με τα μαθηματικά. Αντίθετα στη δική σου θα δεις το αντίθετο μιας ψευδούς πρότασης να είναι ψευδής.

Συνοψίζοντας, κατά τη γνώμη, μου θα πρέπει να διαβάζουμε μαθηματικά μια γλωσσική περιγραφή (δηλαδή όπως τη διαβάζουν οι μαθηματικοί με τη σύμβαση γενίκευσης που κάνουν). Είναι ο μόνος τρόπος να μην πέσουμε σε αντιφάσεις και κάθε στιγμή να έχουμε σταθερό σημείο αναφοράς. Αν τη διαβάσουμε πιο «καθημερινά», για μένα, εισάγουμε τις ασάφειες της φυσικής γλώσσας και μπαίνουμε σε επικίνδυνα μονοπάτια. Με βάση την ανάγνωση που κάνουν οι μαθηματικοί η 1Β4 είναι καλώς ορισμένη και αληθής.

Κλείνοντας θα ήθελα να πω ότι ήταν μια εξαιρετικά ενδιαφέρουσα κουβέντα. Σίγουρα δε θα μπορούσε να γίνει από φιλόλογο.

Εύχομαι να έχουμε και άλλες τέτοιες κουβέντες το χειμώνα (από όλα τα μέλη) και όχι μόνο τώρα με τις πανελλήνιες.