Το Στέκι των Πληροφορικών

Καλησπέρα σε όλους,
όταν υπάρχουν πολλοί τελεστές ίδιας ιεραρχίας , τότε εκτελούνται από αριστερά προς τα δεξιά.
Ναι αλλά τι γίνεται με τον τελεστή ^ (ύψωση σε δύναμη);
Π.χ. στην έκφραση 2^3^2 , ποιά πράξη εκτελείται πρώτη;
Σύμφωνα με το βιβλίο θα εκτελεστεί από αριστερά προς τα δεξιά δηλ. (2^3)^2=8^2=64.
Ναι αλλα σύμφωνα με τα μαθηματικά θα είναι: 2^(3^2)= 2^9= 2*2*...*2 (9 φορές)= 512

Τι να πούμε στους μαθητές;

Ευχαριστώ εκ των προτέρων
Θανάσης

64

Σύμφωνα με το βιβλίο είναι από αριστερά προς τα δεξιά άρα 64 όπως λέει ο Ανδρέας.
Σύμφωνα με την Google όμως είναι 512.
Ποιον να πιστέψουμε τώρα;

Αν μπορούσαμε να διαλέξουμε, θα ήταν καλύτερο να ακολουθήσουμε την Python και την Javascript, όπου και στις δύο ισχύει:
2**3**2 = 512.

Όπως και στα μαθηματικά και στο Google δηλαδή.

Δυστυχώς η σχετική ψηφοφορία που κάναμε το 2007 ήταν "ερμηνείας του σχολικού βιβλίου" και όχι "τι θεωρούμε καλύτερο":
https://alkisg.mysch.gr/steki/index.php?topic=915.0

Τι μας νοιάζει τι λένε τα μαθηματικά; Στον Διερμηνευτή της Γλώσσας και στις περισσότερες γλώσσες προγραμματισμού 0^0 δίνει 1, ενώ τα μαθηματικά λένε ότι δεν ορίζεται. CS rules.

Ο τελεστής "δύναμη" είναι δεξιά προσεταιριστικός στη γραμματική σχεδόν όλων των Γλωσσών προγραμματισμού, όπως είναι και στα Μαθηματικά.

βλέπε συνημμένο

Όπως και σε όλες τις γλώσσες προγραμματισμού, η else στην if, είναι προαιρετική. Εκτός από τη ΓΛΩΣΣΑ, που θεαματικά παραλείπεται η προαιρετικότητα στον ορισμό της 21 χρόνια τώρα στη θεωρία του βιβλίου, ενώ την ΕΠΙΛΕΞΕ τη διόρθωσαν με το νέο βιβλίο...

Το 0^0 όντως επιστρέφει 1 γιατί ένα μηχάνημα έχει περιορισμένη τη πράξη στο R, αλλά δεν είναι μόνο αυτό.

Τώρα το ότι το βιβλίο ορίζει λάθος μία πράξη, οκ. Που να δείτε το γεγονός, ότι όπως είναι γραμμένο απαγορεύει ανάθεση ακέραιας τιμής σε πραγματική μεταβλητή...
με άλλα λόγια by the book, αν ακ είναι ακέραια και πρ πραγματική μεταβλητή για να γίνει ανάθεση τιμής της ακ στη πρ by the book οφείλουμε να κάνουμε το εξής:
πρ <- ακ * 1.0
Παράνοια.
Για όποιον δε καταλαβαίνει σε τι αναφέρομαι, σελ 132 το θαυμαστικό κόκκινη υποσημείωση κάτω αριστερα (ενότητα 7.8 )...

Αναθεωρημένη έκδοση κι ακόμα δε λύθηκαν ούτε αυτά, ούτε αλγορίθμοι ασύμβατοι με ΓΛΩΣΣΑ, ούτε λάθος αλγόριθμοι (ωμά λάθος όμως)

Δεν υπάρχει σωτηρία...

Το  0/0=NaN

αλλά η Google το άλλαξε σε undefined...

Νέα βιβλία πότε θα δούμε... ???
Ευσεβείς πόθοι θα πει κάποιος...

Επειδή όταν διδάσκουμε τους μαθητές πρέπει να χρησιμοποιούμε επιχειρήματα ώστε και να τους πείθουμε και να είμαστε επιστημονικά σωστοί αλλά και να καταλαβαίνουν τα παιδιά, το 0^0 δεν είναι τόσο απλό ώστε να πούμε ότι κάνει 1 ή 0 έτσι απλά. Για να εξηγήσουμε γιατί κάνει 1 θα πρέπει να μιλήσουμε για όρια.
Αν πάρουμε το lim 0^x αυτό κάνει 0 αλλά το lim x^x με x -->0 κάνει 1 .Και οι δυο όροι βάση εκθέτης τείνουν στο 0 όμως το θέμα είναι τι υπερισχύει.
Από ότι φαίνεται υπερισχύει η δύναμη για αυτό κάνει 1 πάντα φυσικά μιλάμε για x --> 0+ από δεξιά .

Το παραπάνω φυσικά δεν αποτελεί κάποια σοβαρή απόδειξη αλλά μια εκλαϊκευμένη εξήγηση την οποία κατά την γνώμη μου μπορούμε να δώσουμε στα παιδιά ώστε να καταλάβουν τι γίνεται.
Αλλιώς μπορούμε να τους βάλουμε να υπολογίσουν
0.1^0.1, 0.001^0.001 κ.ο.κ. για να δουν ότι συγκλίνει στο 1 και όχι στο 0.

Καλό το Google αλλά για τέτοια θέματα εμπιστεύμαι περισσότερο τον wolfram
https://www.wolframalpha.com/input/?i=0%5E0 (https://www.wolframalpha.com/input/?i=0%5E0)

Όσο για την προτεραιότητα του τελεστή ^ στην ΓΛΩΣΣΑ δεν είναι προφανές ότι πρέπει να αλλάξει όταν όλοι χρησιμοποιούν την προτεραιότητα από δεξιά?
Μια καλή εξήγηση για αυτό φαίνεται στο παράδειγμα που ανέβασε ο .... Κανένας

evry εγώ παραδίδω στη Τάξη τις εξηγήσεις των Numberphile παραθέτω και το video για όποιον θέλει να το δει.

https://www.youtube.com/watch?v=BRRolKTlF6Q

Νομίζω πως 0^0 επιστρέφεται 1 από το google γιατί πολύ απλά αυτό είναι το όριο στο R, ωστόσο οι Μαθηματικοί μας τονίζουν πως είναι αοριστία.

Τώρα στα όσα αφορούν τη προτεραιότητα στη ΓΛΩΣΣΑ, νομίζω πως δε πρέπει να αλλάξει η προτεραιότητα μόνο, αλλά η ΓΛΩΣΣΑ. Το έχουμε ξαναπει  :D :D.

Παράθεση από: gbougioukas στις 30 Σεπ 2021, 01:55:22 ΜΜ
Τι μας νοιάζει τι λένε τα μαθηματικά; Στον Διερμηνευτή της Γλώσσας και στις περισσότερες γλώσσες προγραμματισμού 0^0 δίνει 1, ενώ τα μαθηματικά λένε ότι δεν ορίζεται. CS rules.

Το κακό είναι πως τα παιδιά θα δώσουν Μαθηματικά και τα νοιάζει.
Το τι κάνει ο διερμηνευτής δεν είναι επιχείρημα για την επί χάρτου ορισμένη ΓΛΩΣΣΑ που δίνουν τα παιδιά Πανελλήνιες. Πρέπει να πάμε by the book (και by the book είναι λειψό το αλφάβητό της. Καλά πήγε αυτό...) Το ότι ο Άλκης όμως έχει κάνει πολύ προβλεπόμενο το Διερμηνευτή του, πρέπει να του το δώσουμε!!!

Το ότι είναι θέμα "υλοποιίησης" ΓΛΩΣΣΑΣ δεν πιστεύω να διαφωνεί κανείς.
Ας δούμε πως το χειρίζονται διάφορες Γλώσσες Προγραμματισμού
https://rosettacode.org/wiki/Zero_to_the_zero_power

Ο κύριος γκούγκλης (όπως και παλαιότερα βιβλία Άλγεβρας) υπολογίζει περιττές ρίζες αρνητικών.
Τι σημαίνει, έχει πρόβλημα η ΓΛΩΣΣΑ ή ο Διερμηνευτής;

Η ύψωση σε δύναμη επιστρέφει πραγματικό αριθμό. Ναι και; Θέμα σύμβασης είναι θα πέσουμε τα ανάσκελα επειδή τι; Δεν μπορούμε να ξεχωρίσουμε  με ποιούς ορισμούς και ποιές συμβάσεις ξεκινάμε; Ή θα πέσει έξω το καράβι (της μάθησης) ;

Εφόσον η προτεραιότητα των τελεστών εξηγείται, δεν υπάρχει ζήτημα. Αν θέλουμε το "μαθηματικό" ισοδύναμο του αρχικού παραδείγματος πρέπει να χρησιμοποιηθούν παρενθέσεις.

Και ναι είναι βολικότερο να ορισθεί το 0^0 = 1, ας το έγραφε στο βιβλίο ή να έμπαινε στις οδηγίες.
Αλλά στα στοιχειώδη Μαθηματικά το μηδέν εις την μηδενική είναι απροσδιοριστία.
Όποιο και από τα δύο αν επιλέξουμε δεν μας δημιουργεί πρόβλημα στο Σχολείο. Απλά πράγματα.
Ανάποδα, το να λέμε ότι από την δυναμοσειρά της e^x το 0^0 ισούται με 1, ε εκεί ξεκινάνε οι ταρζανιές.

Παράθεση από: evry στις 02 Οκτ 2021, 11:08:32 ΠΜ
Αν πάρουμε το lim 0^x
...

"λίγο" αεράτα δεν είναι γραμμένο αυτό; (για γνώσεις Λυκείου)

bytheway, μπορούμε να επεκτείνουμε και αυτά από το screenshot γιατί δεν τα πιάνει η Άλγεβρα που μαθαίνουμε.

ApoAntonis, δε διαφωνώ, ότι πει το βιβλίο, και τέλος. Κι αν δε πει, τότε και μόνο τότε, ότι ισχύει από εντός ύλης παρεμφερή μαθήματα, βλέπε Μαθηματικά.
Αλλά είναι προφανή τα προβλήματα και το χάλι το μαύρο. Και δε ξέρω κατά πόσο δε πέφτει το καράβι της μάθησης έξω, όταν τα παιδιά με το που πάνε σε κάποιο Πανεπιστήμιο, δουν πως πολλά σημεία που διδάσκαμε στα πλαίσια του μαθήματος, ήταν εντελώς κουραφέξαλα, "γιατί έτσι λέει το βιβλίο".
Τέλος πάντων, ναι... αυτά.

Καταρχάς επειδή αναφέρθηκαν ρίζες αρνητικών αριθμών περιττής τάξης. Δεν κατάλαβα τι λέμε. Δεν υπάρχουν? Μια χαρά υπολογίζονται και μια χαρά ορίζονται.
Το να λέμε ότι η συνάρτηση κυβική ρίζα του x δεν ορίζεται στους αρνητικούς αριθμούς δεν είναι σωστό!
Επίσης ποτέ μου δεν κατάλαβα αυτόν τον διαχωρισμό μεταξύ σχολικών και άλλων μαθηματικών! Τα μαθηματικά είναι μαθηματικά.
Κάθε όριο μπορεί να το διερευνήσει ο μαθητής αν υπολογίσει τιμές σε μια μικρή περιοχή κοντά σε αυτό, πειραματικά ώστε να καταλάβει τι γίνεται.
Δεν χρειάζονται ιδιότητες ούτε ανώτερα μαθηματικά.

Παράθεση από: thanasisgr στις 28 Σεπ 2021, 08:36:46 ΜΜ
όταν υπάρχουν πολλοί τελεστές ίδιας ιεραρχίας , τότε εκτελούνται από αριστερά προς τα δεξιά.

Η πιο απλή εξήγηση που μπορούμε να δώσουμε στους μαθητές μας για να εξηγησουμε ότι

Σύμφωνα με το βιβλίο θα εκτελεστεί από αριστερά προς τα δεξιά δηλ. (2^3)^2=8^2=64.

Μόνο που αυτό δεν είναι εξήγηση. Δηλαδή το να λέμε ότι το έχει το βιβλίο δεν αποτελεί εξήγηση, γιατί αν ένας μαθητής μας παρουσιάσει το πολύ ωραίο επιχείρημα του Κανένα θα μας κολλήσει στον τοίχο και θα έχει και δίκιο.
Μάλλον πρόκειται για αστοχία του βιβλίου. Οι συγγραφείς δεν σκέφτηκαν να διαφοροποιήσουν το associativity αυτού του τελεστή σε σχέση με τους άλλους αριθμητικούς τελεστές.
Καλή ιδέα θα ήταν να μην εμφανιστεί ποτέ στις εξετάσεις

Παράθεση από: Καρκαμάνης Γεώργιος στις 04 Οκτ 2021, 10:04:04 ΜΜ
Η πιο απλή εξήγηση που μπορούμε να δώσουμε στους μαθητές μας για να εξηγησουμε ότι

Σύμφωνα με το βιβλίο θα εκτελεστεί από αριστερά προς τα δεξιά δηλ. (2^3)^2=8^2=64.

Νομίζω πως δεν υπάρχει πρόβλημα για τον εκπαιδευτικό. Ατόπημα του βιβλίου, το μαθαίνουμε όμως έτσι. Αυτό λες στα παιδιά και τέλος. Και να ήταν το μόνο στο βιβλίο...
Με βρίσκεις 100% σύμφωνο evry πως Πανελλήνιες θέλει πολλή προσοχή αυτός ο τελεστής να ΜΗ χρησιμοποιηθεί έτσι ούτε για πλάκα.

@Evry
πες μου όταν θα προτρέψεις την μελέτη ορίου 0^x, τι θα μου πείς μετά όταν πάω να κάνω το ίδιο για (-1)^x, για παράδειγμα.

Παράθεση από: evry στις 04 Οκτ 2021, 02:04:31 ΜΜ
Το να λέμε ότι η συνάρτηση κυβική ρίζα του x δεν ορίζεται στους αρνητικούς αριθμούς δεν είναι σωστό!

Αυτό έγραψα;


Πάμε ξανά, η κωδικοποίηση του δύο εις την τρίτη και όλο στην δευτέρα
δεν είναι 2^3^2, ποιός το είπε ότι αυτό είναι σωστή γραφή;

είναι  (2^3)^2 ή 2^(2*3)

Είναι άλλη άσκηση να ζητήσεις το αποτέλεσμα του 2^3^2. Ισχύει η αριστερή προτεραιότητα με αυτά που μαθαίνουμε.
Δεν αναιρείται το γεγονός ότι πρόκειται για πλήρως αποτυχημένο ζήτημα όμως.


Στο χαρτί όταν γράψουμε πηλίκο ένα προς το x συν y, δεν θέλει παρένθεση
όμως σε όποια κωδικοποίηση δεν γράφουμε ότι βλέπουμε, θα γράψουμε 1/(x+y)
Γιατί είναι περίεργο στις δυνάμεις, δεν το καταλαβαίνω.


Τέλος πάντων, όσο στις οδηγίες παραμένει η GOTO εγώ ψηφίζω αυτήν για αγαπημένη μου περίπτωση.

Να δώσω και ένα θεματάκι για κωδικοποίηση στο επόμενο τεστ ...  :D

Επισυνάπτεται έγγραφο σχετικά με το ζήτημα υπολογισμού ρίζας περιττής τάξης αρνητικού αριθμού και την απαίτηση οι υπόριζες ποσότητες
να είναι πάντα θετικές.

Αυτό που ανέβασες είναι απαίτηση ώστε να λύνεται ωραία η συγκεκριμένη εξίσωση. Δεν ισχύει απαραίτητα.

Παράθεση από: Κανένας στις 05 Οκτ 2021, 06:50:16 ΜΜ
Επισυνάπτεται έγγραφο σχετικά με το ζήτημα υπολογισμού ρίζας περιττής τάξης αρνητικού αριθμού και την απαίτηση οι υπόριζες ποσότητες
να είναι πάντα θετικές.

Τα πράγματα είναι απλά
Το -8 έχει κυβική ρίζα?
Το -27 και το -1 έχουν κυβική ρίζα?
Αν δεν έχουν τότε καλά κάνουμε και απαιτούμε υπόριζο θετικό.
Αν έχουν όμως τότε κάτι πάει στραβά με τα μαθηματικά που μαθαίνουν τα παιδιά

Παράθεση από: evry στις 05 Οκτ 2021, 08:07:20 ΜΜ
Αυτό που ανέβασες είναι απαίτηση ώστε να λύνεται ωραία η συγκεκριμένη εξίσωση. Δεν ισχύει απαραίτητα.

Τα πράγματα είναι απλά
Το -8 έχει κυβική ρίζα?
Το -27 και το -1 έχουν κυβική ρίζα?
Αν δεν έχουν τότε καλά κάνουμε και απαιτούμε υπόριζο θετικό.
Αν έχουν όμως τότε κάτι πάει στραβά με τα μαθηματικά που μαθαίνουν τα παιδιά

Φυσικά και υπάρχουν  ρίζες περιττής τάξης των αρνητικών αριθμών.
Απλώς στη νεώτερη σημειογραφία (και ορισμούς) των ριζών, οι υπόρριζες ποσότητες πρέπει να είναι θετικές και στα ριζικά περιττής τάξης.
Δηλαδή με απλά λόγια το αρνητικό πρόσημο το βάζουμε έξω απ' το ριζικό (βλέπε τελευταία γραμμή του πίνακα) στο συνημμένο.
Σε παλιότερα βιβλία Άλγεβρας βλέπουμε αρνητικά υπόρριζα.

Μα αυτό ακριβώς είναι το θέμα
Γιατί πρέπει?
Ποια είναι η αιτιολόγηση αυτής της πρακτικής που ακολουθούν τα ελληνικά βιβλία μαθηματικών, γιατί όποιο βιβλίο μαθηματικών έχει πέσει στα χέρια μου είτε του IB είτε πανεπιστημιακό δεν έχω δει κάτι τέτοιο.
Πως το εξηγούμε σε έναν μαθητή αν μας ρωτήσει για ποιον λόγο δεν επιτρέπεται υπόριζο αρνητικό αφού ορίζεται;

Παράθεση από: Κανένας στις 06 Οκτ 2021, 12:30:22 ΠΜ
Φυσικά και υπάρχουν  ρίζες περιττής τάξης των αρνητικών αριθμών.
Απλώς στη νεώτερη σημειογραφία (και ορισμούς) των ριζών, οι υπόρριζες ποσότητες πρέπει να είναι θετικές και στα ριζικά περιττής τάξης.
Δηλαδή με απλά λόγια το αρνητικό πρόσημο το βάζουμε έξω απ' το ριζικό (βλέπε τελευταία γραμμή του πίνακα) στο συνημμένο.
Σε παλιότερα βιβλία Άλγεβρας βλέπουμε αρνητικά υπόρριζα.

Παράθεση από: evry στις 07 Οκτ 2021, 08:19:38 ΜΜ
Μα αυτό ακριβώς είναι το θέμα
Γιατί πρέπει?
Ποια είναι η αιτιολόγηση αυτής της πρακτικής που ακολουθούν τα ελληνικά βιβλία μαθηματικών, γιατί όποιο βιβλίο μαθηματικών έχει πέσει στα χέρια μου είτε του IB είτε πανεπιστημιακό δεν έχω δει κάτι τέτοιο.
Πως το εξηγούμε σε έναν μαθητή αν μας ρωτήσει για ποιον λόγο δεν επιτρέπεται υπόριζο αρνητικό αφού ορίζεται;

Το "πρέπει" είναι ζήτημα συμφωνίας.
Το σύμβολο της ρίζας συμφωνήθηκε να χρησιμοποιείται μόνο για μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς και να έχει συναρτησιακό χαρακτήρα.
Αν ο τύπος μιας πραγματικής συνάρτησης πραγματικής μεταβλητής περιέχει κάποιο ριζικό περιττής τάξεως, τότε το υπόρριζο δεν μπορεί να είναι αρνητικός αριθμός, όπως ακριβώς και στην περίπτωση ριζικών άρτιας τάξεως.
Δηλαδή έχουμε μια γενίκευση για ενιαία αντιμετώπιση των υπόρριζων ποσοτήτων. (Το αρνητικό πρόσημο στα ριζικά περιττής τάξης αρνητικών αριθμών το βάζουμε έξω απ' το ριζικό και έχουμε θετικό το υπόρριζο)

Σχετκά με το 2^3^2 πιστεύω ότι το πρόβλημα ξεκινάει από το ότι στα μαθηματικά το βλέπουμε σαν τιμή της  σύνθεσης της g(x)=3^x με την f(x)=2^x στο x=2. Δηλαδή f(g(2)). Ενώ ση ΓΛΩΣΣΑ πάμε να το κάνουμε με τελεστή χωρίς να έχει δοθεί οδηγία για από δεξιά προς αριστερά εκτέλεση. Οπότε πάμε όπως σε όλους τους τελεστές από αριστερά προς τα δεξιά και γι αυτό υπάρχει το πρόβλημα.

Για τη ρίζα περιττής τάξης αρνητικού, έχει προτιμηθεί να μην ορίζεται γιατί δημιουργεί πρόβλημα στον κλασματικό εκθέτη. Πχ αν γράψουμε την τρίτη ρίζα του -8 σαν -8 στην 1/3 και μετά γράψουμε το 1/3 του εκθέτη σα 2/6 και γυρίσουμε σε ρίζα θα προκύψει αντίφαση. Γι αυτό προτιμήθηκε από κάποιους να το αποφύγουμε εντελώς. Θα μπορούσε να οριστεί και διαφορετικά. Πάντα όμως κάτι χάνεις και κάτι κερδίζεις.

edit: Γράφω λίγο πιο καθαρά το λόγο που προτιμήθηκε να μην ορίζεται περιττής τάξεως ρίζα αρνητικού αριθμού. Με 3η-ριζα(x) θα συμβολίζω την τρίτη ρίζα του x. Έχουμε λοιπόν
-2=3η-ριζα(-8)=(-8)^(1/3)=(-8)^(2/6)=6η-ρίζα((-8)^2)=6η-ριζα(64)=2 (άτοπο)
ΑΝ δεχόμασταν αρνητικούς αριθμούς σε ρίζες περιττής τάξης, θα είχαμε πρόβλημα με τους κλασματικούς εκθέτες. Φαίνεται πως προτιμήθηκε αυτή σαν  η λιγότερο επώδυνη λύση. Πέρα από αυτό και η εκθετική συνάρτηση α^x ορίζεται για α>0 γιατί... τι τιμή θα έπαιρνε στο x=1/2 με α=-2;

Αν ήμουν μαθητής και διάβαζα όλα τα παραπάνω, θα αναρωτιόμουν μήπως μπήκα σε στέκι μαθηματικών...

Παράθεση από: Καρκαμάνης Γεώργιος στις 13 Οκτ 2021, 11:29:04 ΜΜ
Αν ήμουν μαθητής και διάβαζα όλα τα παραπάνω, θα αναρωτιόμουν μήπως μπήκα σε στέκι μαθηματικών...

Η απάντηση Γιώργο είναι πολύ απλή: Η πληροφορική είναι θετική επιστήμη και η θέση της είναι δίπλα στα μαθηματικά και τη φυσική. Την έφερε δίπλα στα οικονομικά η διάθεση κάποιων να κάνουν τα χατήρια του κλάδου Π04.

https://en.wikipedia.org/wiki/Computer_science (https://en.wikipedia.org/wiki/Computer_science)


Computer science is no more about computers than astronomy is about telescopes.
— Edsger Dijkstra (https://en.wikipedia.org/wiki/Edsger_Dijkstra)[/font][/size]
Further information: Outline of computer science (https://en.wikipedia.org/wiki/Outline_of_computer_science)


https://en.wikipedia.org/wiki/Outline_of_computer_science

Mathematical foundations[edit (https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Outline_of_computer_science&action=edit&section=3)][/size]Coding theory (https://en.wikipedia.org/wiki/Coding_theory) – Useful in networking, programming and other areas where computers communicate with each other.

• Game theory (https://en.wikipedia.org/wiki/Game_theory) – Useful in artificial intelligence and cybernetics (https://en.wikipedia.org/wiki/Cybernetics).
• Discrete Mathematics (https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_Mathematics)
• Graph theory (https://en.wikipedia.org/wiki/Graph_theory) – Foundations for data structures and searching algorithms.
• Mathematical logic (https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_logic) – Boolean logic (https://en.wikipedia.org/wiki/Boolean_logic) and other ways of modeling (https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_model) logical queries; the uses and limitations of formal proof methods
• Number theory (https://en.wikipedia.org/wiki/Number_theory) – Theory of the integers (https://en.wikipedia.org/wiki/Integer). Used in cryptography (https://en.wikipedia.org/wiki/Cryptography) as well as a test domain in artificial intelligence (https://en.wikipedia.org/wiki/Artificial_intelligence).

Νομίζω πως το λήμα για Mathematical Foundations of Computer Science είναι αρκούντος κατατοπιστικό