Αποστολέας Θέμα: Είναι πράγματι η επίλυση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης επιλύσιμο πρόβλημα ;  (Αναγνώστηκε 5505 φορές)

gbougioukas

  • Δεινόσαυρος
  • *****
  • Μηνύματα: 176
Συνεχίζοντας το παράδειγμα με τις προσθέσεις, έστω ότι ορίζω τον αριθμό α=0.99999 (περίοδος) και θέλω να τον προσθέσω με το "d". Ποιο θα είναι το πρώτο ψηφίο του αποτελέσματος; 1 ή 0;
Μήπως τώρα και η πρόσθεση δύο πραγματικών έγινε μη επιλύσιμη;

Έχω αντίρρηση στο 0.99999=1, αλλά για να μην φάμε την ώρα μας με αυτό, ας αλλάξω λίγο την εκφώνηση.

Κάνε το ίδιο με το 1-d.

Ακέραιο μέρος = πόσο;
1ο δεκαδικό ψηφίο = πόσο;

Αν δεν μπορείς καν να υπολογίσεις το πρώτο ψηφίο αυτού του αριθμού, μήπως η αφαίρεση πραγματικών είναι μη επιλύσιμο πρόβλημα;


α=0.99999 (περίοδος) γράφεις, καταλαβαίνω ακέραιο μέρος 0 και άπειρα εννιάρια. Αυτό είναι ίσο με 1 (χωρίς αμφιβολία - για μια απλή μέθοδο απόδειξης βλ. βιβλίο μαθηματικών 1ης Γυμνασίου, σελ. 136 - αν επιμένεις να το αποδείξω).

Παραμένει επιλύσιμο πρόβλημα η αφαίρεση πραγματικών αριθμών:

Ισχύει 1 = 0.999...    ("..." σημαίνει άπειρα εννιάρια)

Άρα 1-d = 0.999... - d, το οποίο είναι ίσο με:

Ακέραιο μέρος ίσο με 0 και
1ο δεκαδικό ψηφίο: 9 αν αριθμός 4 γράφεται ως άθροισμα δύο πρώτων, αλλιώς 8
2ο δεκαδικό ψηφίο: 9 αν αριθμός 6 γράφεται ως άθροισμα δύο πρώτων, αλλιώς 8
3ο δεκαδικό ψηφίο: 9 αν αριθμός 8 γράφεται ως άθροισμα δύο πρώτων, αλλιώς 8
...



alkisg

  • Τεχνικός / καθαρίστρια
  • *****
  • Μηνύματα: 5043
    • alkisg@im.sch.gr
    • Ο Διερμηνευτής της ΓΛΩΣΣΑΣ
Ισχύει 1 = 0.999...    ("..." σημαίνει άπειρα εννιάρια)
....
Ακέραιο μέρος ίσο με 0 και

Δηλαδή το ακέραιο μέρος του 1 είναι το 0; ?!?!?!

Εγώ όμως ξέρω ότι το ακέραιο μέρος του 1 είναι το 1, άρα μόλις απέδειξες ότι 0=1; ?!?!?!

Δεν μπορείς να μιλάς προσεγγιστικά για το ακέραιο μέρος ενός αριθμού, έχει μια πολύ συγκεκριμένη ακέραια τιμή. Δεν μπορεί να είναι και 1 και 0 ταυτόχρονα.

gbougioukas

  • Δεινόσαυρος
  • *****
  • Μηνύματα: 176
Δηλαδή το ακέραιο μέρος του 1 είναι το 0; ?!?!?!

Εγώ όμως ξέρω ότι το ακέραιο μέρος του 1 είναι το 1, άρα μόλις απέδειξες ότι 0=1; ?!?!?!

Δεν μπορείς να μιλάς προσεγγιστικά για το ακέραιο μέρος ενός αριθμού, έχει μια πολύ συγκεκριμένη ακέραια τιμή. Δεν μπορεί να είναι και 1 και 0 ταυτόχρονα.

Οι πραγματικοί αριθμοί δεν ορίζονται μονοσήμαντα ως ακολουθίες δεκαδικών ψηφίων (για αυτό άλλωστε μιλάμε για "κλάσεις ισοδυναμίας" ακολουθιών Cauchy και όχι για "ακολουθίες Cauchy"). Ο αριθμός 1.0000 είναι ίσος με με τον 0.9999...Είναι δύο διαφορετικές μορφές αναπαράστασης του ίδιου αριθμού. Αυτή είναι κλασσικά μια διαφορά των πραγματικών αριθμών από τους ακέραιους. Δες την μέθοδο απόδειξης αυτού στο βιβλίο μαθηματικών 1ης Γυμνασίου σελ 136.

gbougioukas

  • Δεινόσαυρος
  • *****
  • Μηνύματα: 176
@alkisg

Αν δεν έχεις πρόχειρο το βιβλίο μαθηματικών της 1ης γυμνασίου google it:

https://www.google.gr/#q=1+%3D+0.999...

https://en.wikipedia.org/wiki/0.999...

gbougioukas

  • Δεινόσαυρος
  • *****
  • Μηνύματα: 176
@alkisg

Παραθέτω μια απόδειξη:


alkisg

  • Τεχνικός / καθαρίστρια
  • *****
  • Μηνύματα: 5043
    • alkisg@im.sch.gr
    • Ο Διερμηνευτής της ΓΛΩΣΣΑΣ
@gbougioukas, δεν διαφωνώ ότι 0.9999...=1 σε μερικά συστήματα αρίθμησης των μαθηματικών (δες το λινκ για κάποια που δεν ισχύει), αλλά όπως βλέπεις και παραπάνω στην απόδειξή σου, αυτό προϋποθέτει άπειρα δεκαδικά ψηφία, που στον υπολογιστή δεν τα έχουμε (γιατί αλλιώς 10χ=9.999990, με μηδέν στο όσο-μεγάλο-θέλουμε-αλλά-περιορισμένου-μεγέθους δεκαδικό μέρος). Ισοδύναμα, στις κλασσικές αναπαραστάσεις πραγματικών αριθμών στον υπολογιστή υπάρχει πάντα ο "επόμενος πραγματικός αριθμός", ενώ στα μαθηματικά δεν υπάρχει. Αυτά δεν είναι άσχετες συζητήσεις με το αρχικό θέμα, αλλά ήθελα να τις αποφύγω γιατί είναι απόρροιες της αναπαράστασης και όχι αίτια.

Ουσιαστικά αυτό που θέλω να πω είναι ότι το να περιγράψουμε έναν αριθμό σε πεπερασμένο χώρο/χρόνο δεν σημαίνει και ότι θα μπορούμε να κάνουμε και πράξεις με αυτόν σε πεπερασμένο χώρο/χρόνο, και γι' αυτό το λόγο αυτού του είδους οι αναπαραστάσεις δεν είναι κατάλληλες για υπολογιστές ούτε μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την απόδειξη μη επιλυσιμότητας προβλημάτων πραγματικών αριθμών από υπολογιστή.

gbougioukas

  • Δεινόσαυρος
  • *****
  • Μηνύματα: 176
@gbougioukas, δεν διαφωνώ ότι 0.9999...=1 σε μερικά συστήματα αρίθμησης των μαθηματικών (δες το λινκ για κάποια που δεν ισχύει), αλλά όπως βλέπεις και παραπάνω στην απόδειξή σου, αυτό προϋποθέτει άπειρα δεκαδικά ψηφία, που στον υπολογιστή δεν τα έχουμε (γιατί αλλιώς 10χ=9.999990, με μηδέν στο όσο-μεγάλο-θέλουμε-αλλά-περιορισμένου-μεγέθους δεκαδικό μέρος). Ισοδύναμα, στις κλασσικές αναπαραστάσεις πραγματικών αριθμών στον υπολογιστή υπάρχει πάντα ο "επόμενος πραγματικός αριθμός", ενώ στα μαθηματικά δεν υπάρχει. Αυτά δεν είναι άσχετες συζητήσεις με το αρχικό θέμα, αλλά ήθελα να τις αποφύγω γιατί είναι απόρροιες της αναπαράστασης και όχι αίτια.

Ουσιαστικά αυτό που θέλω να πω είναι ότι το να περιγράψουμε έναν αριθμό σε πεπερασμένο χώρο/χρόνο δεν σημαίνει και ότι θα μπορούμε να κάνουμε και πράξεις με αυτόν σε πεπερασμένο χώρο/χρόνο, και γι' αυτό το λόγο αυτού του είδους οι αναπαραστάσεις δεν είναι κατάλληλες για υπολογιστές ούτε μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την απόδειξη μη επιλυσιμότητας προβλημάτων πραγματικών αριθμών από υπολογιστή.

Σε ποια αριθμητικά συστήματα ακριβώς δεν ισχύει, γιατί το λινκ που δίνεις λέει ακριβώς το αντίθετο:

"Second, a comparable theorem applies in each radix or base. For example, in base 2 (the binary numeral system) 0.111… equals 1".

Όσο για το ποιες αναπαραστάσεις είναι κατάλληλες για υπολογιστές, είναι οι πεπερασμένες φυσικά:

Κάθε μαθηματικός ορισμός (εξ' ορισμού) είναι μια πεπερασμένη συμβολοσειρά. Άρα μπορεί να χρησιμοποιηθεί μια χαρά στον υπολογιστή. Σ' ένα σύνηθες CAS υπάρχει για παράδειγμα το άπειρο άθροισμα (σειρά). Κάθε υπολογίσιμη πραγματική σταθερά γράφεται ως σειρά. Για παράδειγμα ο αριθμός d είναι η παρακάτω πεπερασμένη συμβολοσειρά στο maxima:

sum(product(1−(product(1−product(sin((%pi*k+%pi*i)/p)^2/sin((%pi*k)/p)^2,k,1,p−1),p,2,sqrt(i)))*product(1−product(sin((%pi*(2*k−i+2)+%pi*k)/p)^2/sin((%pi*k)/p)^2,k,1,p−1),p,2,sqrt(2*k−i+2)),i,2,k+1)/10^k,k,1,inf);
« Τελευταία τροποποίηση: 22 Νοέ 2016, 08:44:10 μμ από gbougioukas »

alkisg

  • Τεχνικός / καθαρίστρια
  • *****
  • Μηνύματα: 5043
    • alkisg@im.sch.gr
    • Ο Διερμηνευτής της ΓΛΩΣΣΑΣ
Στην τρίτη παράγραφο το λέει, "In most such number systems, the standard interpretation of the expression 0.999… makes it equal to 1, but in some of these number systems, the symbol "0.999…" admits other interpretations that contain infinitely many 9s while falling infinitesimally short of 1."

Το να ορίσω έναν αριθμό σε πεπερασμένο χώρο/κώδικα δεν είναι το ίδιο με το να μπορώ να κάνω πράξεις με αυτόν σε πεπερασμένο χώρο/χρόνο. Γι' αυτό και στους υπολογιστές χρησιμοποιούμε πραγματικούς αριθμούς περιορισμένης ακρίβειας. Δυστυχώς όμως είναι πεπερασμένος και ο χρόνος που μπορούμε να διαθέσουμε σε τέτοιες συζητήσεις... :)

evry

  • Γενικός διαχειριστής
  • *****
  • Μηνύματα: 3148
  • to Iterate is human to Recurse divine
Κάποιες παρατηρήσεις, αν και δεν έχω καθόλου χρόνο, αλλά το θέμα έχει ενδιαφέρον

@alkisg

Παραθέτω μια απόδειξη:


1η παρατήρηση
Η παραπάνω απόδειξη δεν θα έλεγα ότι είναι ακριβώς αυστηρή για να μην πάω στο άλλο άκρο και πω ότι είναι λάθος.
Το λέω αυτό διότι στα μαθηματικά δεν υπάρχει το σύμβολο "τελίτσες" .......
(το ότι είναι μέσα στο σχολικό βιβλίο δεν μου λέει τίποτα)
Το πρόβλημα είναι ο πολλαπλασιασμός που κάνεις ο οποίος δεν έχει οριστεί πριν γιατί άλλο να πολλαπλασιάζεις γνωστούς αριθμούς και άλλο τους συγκεκριμένους με το "τελίτσα"-notation. (π.χ. πόσο κάνει 0.9999999999... + 0.00000000000...1 ? ή πόσο κάνει 0.999999... x 9?)
π.χ. εγώ γράφω τον αριθμό 0.0000...1 με άπειρα ψηφία 0 και το τελευταίο 1. Πως ορίζεται?

Ουσιαστικά οι τελείες κρύβουν μια απειροσειρά ή για να είμαι πιο ακριβής ένα όριο μιας σειράς.

Το ότι ο συγκεκριμένος συμβολισμός 0.9999.. είναι προβληματικός φαίνεται και από κάτι άλλο. Ότι εδώ έχουμε τον ίδιο αριθμό να έχει δυο διαφορετικές δεκαδικές αναπαραστάσεις όπως είπες και εσύ προηγουμένως. Σίγουρα κάτι δεν πάει καλά λοιπόν. (Αλήθεια κατά πόσο ορίζεται αυστηρά η δεκαδική αναπαράσταση αριθμού με άπειρα ψηφία?? Λογικά αυτό είναι το πρόβλημα που ανέφερε ο Άλκης παραπάνω με τα αριθμητικά συστήματα.)
Αυτό που δεν πάει καλά είναι ο συμβολισμός με τις τελείες που ξεγελάει και σε κάνει να νομίζεις ότι πρόκειται για έναν αριθμό με τα ψηφία αυτά. Στην πραγματικότητα κάνοντας πράξεις με αυτόν τον αριθμό είναι σαν να κάνουμε πράξεις με το άπειρο.

Το ότι η αναπαράσταση αυτή έχει πρόβλημα δεν το λέω μόνο εγώ αλλά και άλλοι. π.χ. η παρακάτω εργασία παρουσιάζει ενδιαφέρον
When is .999... less than 1?

2η παρατήρηση
Όπως είπα και προηγουμένως ο "αριθμός" 0.99999... είναι στην πραγματικότητα το όριο μιας σειράς με άπειρους όρους. Κρύβει δηλαδή μέσα του έναν αλγόριθμο ο οποίος προσθέτει άπειρους όρους. (αλγόριθμος που προσθέτει άπειρους όρους???  :(σίγουρα θα έχω τρελαθεί)
Το αναφέρω όμως γιατί παραπάνω είχες πει το εξής:

Παράθεση
Κάθε μαθηματικός ορισμός (εξ' ορισμού) είναι μια πεπερασμένη συμβολοσειρά. Άρα μπορεί να χρησιμοποιηθεί μια χαρά στον υπολογιστή. Σ' ένα σύνηθες CAS υπάρχει για παράδειγμα το άπειρο άθροισμα (σειρά). Κάθε υπολογίσιμη πραγματική σταθερά γράφεται ως σειρά. Για παράδειγμα ο αριθμός d είναι η παρακάτω πεπερασμένη συμβολοσειρά στο maxima:

sum(product(1−(product(1−product(sin((%pi*k+%pi*i)/p)^2/sin((%pi*k)/p)^2,k,1,p−1),p,2,sqrt(i)))*product(1−product(sin((%pi*(2*k−i+2)+%pi*k)/p)^2/sin((%pi*k)/p)^2,k,1,p−1),p,2,sqrt(2*k−i+2)),i,2,k+1)/10^k,k,1,inf);

ουσιαστικά επειδή δεν μπορείς να υπολογίσεις τον αριθμό θεωρείς ως αναπαράστασή του τον αλγόριθμο υπολογισμού του. Διότι ο συμβολισμός με το Σ είναι ένας αλγόριθμος υπολογισμού σειράς άπειρων όρων.
Με το ίδιο ακριβώς σκεπτικό θεωρώ και εγώ τον παρακάτω αλγόριθμο ή για να είμαι πιο ακριβής την παρακάτω πεπερασμένη συμβολοσειρά:
Κώδικας: C++
  1. Goldbach = True
  2. for (i=2; Goldbach ; i+=2)
  3.    Goldbach = False
  4.    for (j=2; j<i; i++)
  5.          if (j is prime and i–j is prime)
  6.                  Goldbach = True
  7.    if not Goldbach  return False;
  8. return Goldbach;
  9.  

η οποία δίνει την απάντηση στο ερώτημα αν ισχύει η εικασία του Goldbach ή όχι
Με το ίδιο ακριβώς σκεπτικό που εσύ χρησιμοποιείς τον αλγόριθμο υπολογισμού ως πεπερασμένη συμβολοσειρά
μπορώ και εγώ να θεωρήσω τον  παραπάνω αλγόριθμο ο οποίος λύνει την εικασία του Goldbach επίσης ως πεπερασμένη συμβολοσειρά. άρα με το ίδιο σκεπτικό το παραπάνω αποτελεί τη λύση της εικασίας.

ΥΓ. Για την ιστορία η εικασία του Goldbach ισχύει για όλους τους αριθμούς μέχρι τον 4 × 1018 οπότε στον "πραγματικό" κόσμο μάλλον ισχύει
What I cannot create I do not understand -- Richard Feynman
http://evripides.mysch.gr

gbougioukas

  • Δεινόσαυρος
  • *****
  • Μηνύματα: 176
Στην τρίτη παράγραφο το λέει, "In most such number systems, the standard interpretation of the expression 0.999… makes it equal to 1, but in some of these number systems, the symbol "0.999…" admits other interpretations that contain infinitely many 9s while falling infinitesimally short of 1."

Το να ορίσω έναν αριθμό σε πεπερασμένο χώρο/κώδικα δεν είναι το ίδιο με το να μπορώ να κάνω πράξεις με αυτόν σε πεπερασμένο χώρο/χρόνο. Γι' αυτό και στους υπολογιστές χρησιμοποιούμε πραγματικούς αριθμούς περιορισμένης ακρίβειας. Δυστυχώς όμως είναι πεπερασμένος και ο χρόνος που μπορούμε να διαθέσουμε σε τέτοιες συζητήσεις... :)

Η ισότητα 0.999...=1 ισχύει στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Για πραγματικούς αριθμούς μιλάμε τόση ώρα, όχι για...υπερπραγματικούς. "Στους υπολογιστές" δεν "χρησιμοποιούμε" γενικά πραγματικούς αριθμούς περιορισμένης ακριβείας, διότι στους υπολογιστές υπάρχει και το CAS (Computer Algebra System) και το  ATP (Automated Theorem Proving) και πολλά άλλα. Αν η δική σου επαφή με τους υπολογιστές έχει να κάνει μόνο με πραγματικούς περιορισμένης ακριβείας, καλό είναι να μην γενικεύεις έτσι αυθαίρετα  :)

gbougioukas

  • Δεινόσαυρος
  • *****
  • Μηνύματα: 176
@Evry
Θα μπορούσε αντί για την σημειογραφία της ακολουθίας δεκαδικών ψηφίων για τους πραγματικούς αριθμούς, να χρησιμοποιώ ακολουθίες Cauchy, ο λόγος που δεν το κάνω είναι για επικοινωνιακούς λόγους, εφόσον αντιλαμβάνομαι ότι οι συνομιλητές μου δεν είναι εξοικειωμένοι με το αντικείμενο. Ωστόσο, δεν υπάρχει καμιά αντίφαση ανάμεσα στις δύο σημειογραφίες, είναι σχεδόν ισοδύναμες. Η σημειογραφία της ακολουθίας ψηφίων εγείρει αντιρρήσεις γιατί δεν συνοδεύεται από την μαθηματική αυστηρότητα που χαρακτηρίζει τις ακολουθίες Cauchy. Αυτή είναι και η προβληματική της εργασίας στην οποία παραπέμπεις. Οι αντιρρήσεις που παρουσιάζεις εσύ, είναι ανεξάρτητες σημειογραφίας*, δηλαδή αμφισβητείς και την αυστηρά ορισμένη κατασκευή των πραγματικών ως κλάσεις ισοδυναμίας ακολουθιών Cauchy με τον ορισμό των πράξεων της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και το ότι πολλές ακολουθίες Cauchy (αυτές συνιστούν μια κλάση ισοδυναμίας) αντιστοιχούν σε έναν πραγματικό αριθμό. Είναι δικαίωμά σου αν θέλεις να ορίσεις διαφορετικά τους πραγματικούς αριθμούς, από την μεριά μου έκανα αυτό το ποστ στο πλαίσιο που ορίζει με αυστηρότητα η κατασκευή των πραγματικών με κλάσεις ισοδυναμίας ακολουθιών Cauchy. Θα χαρώ πολύ να δω μια καινούργια κατασκευή των πραγματικών, όποτε την κάνεις let me know  :)

(edit)
* Για να το διατυπώσω λίγο καλύτερα:
Τόσο στην λιγότερο τυπική σημειογραφία ακολουθίας ψηφίων (οποιασδήποτε βάσης, δεκαδικό, δυαδικό κλπ) όσο και στην αυστηρότερη σημειογραφία των ακολουθιών Cauchy, έχουμε να κάνουμε τόσο με άπειρα αθροίσματα και πολλαπλασιασμούς, όσο και με πολλαπλές αναπαραστάσεις του ίδιου αριθμού.
« Τελευταία τροποποίηση: 20 Δεκ 2016, 03:18:20 μμ από gbougioukas »

evry

  • Γενικός διαχειριστής
  • *****
  • Μηνύματα: 3148
  • to Iterate is human to Recurse divine
Θα χαρώ πολύ να δω μια καινούργια κατασκευή των πραγματικών, όποτε την κάνεις let me know  :)
Δεν χρειάζεται, υπάρχουν καμιά 20αριά διαφορετικές κατασκευές των πραγματικών κάποιες από τις οποίες είναι και σχετικά καινούργιες.
The Real Numbers - A Survey of Constructions
What I cannot create I do not understand -- Richard Feynman
http://evripides.mysch.gr

gbougioukas

  • Δεινόσαυρος
  • *****
  • Μηνύματα: 176
@evry, @alkisg
Δεν χρειάζεται, υπάρχουν καμιά 20αριά διαφορετικές κατασκευές των πραγματικών κάποιες από τις οποίες είναι και σχετικά καινούργιες.
The Real Numbers - A Survey of Constructions

Και υπάρχει κάποια από αυτές θεωρείς η οποία έρχεται σε αντίφαση με το ότι 0.999... = 1; Ή μήπως σε κάποια από αυτές η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός έχουν... "πεπερασμένο" χαρακτήρα; Πως θα γινόταν άραγε αυτό, μήπως με την άρνηση του αξιώματος του ελάχιστου άνω φράγματος (Least Upper Bound); Μα, τότε δεν θα μιλούσαμε για πραγματικούς, αλλά για ρητούς. Η αποδεκτή από σένα (και του @alkisg) αριθμητική, από όσο καταλαβαίνω από τα λεγόμενά σας (αν κάνω λάθος διόρθώστε με), είναι η αριθμητική μεταξύ ρητών. Τότε, όμως γιατί να μην τους λέμε με το όνομά τους; Γιατί αυτό το μπέρδεμα;

gbougioukas

  • Δεινόσαυρος
  • *****
  • Μηνύματα: 176
@evry

Όσον αφορά τις πολλαπλές αναπαραστάσεις του ίδιου αριθμού, ειλικρινά δεν καταλαβαίνω γιατί σου προκαλούν τόση εντύπωση και γιατί είναι πρόβλημα. Συμβαίνει και στους ρητούς αριθμούς: 1/2 = 2/4.

gbougioukas

  • Δεινόσαυρος
  • *****
  • Μηνύματα: 176

2η παρατήρηση
Όπως είπα και προηγουμένως ο "αριθμός" 0.99999... είναι στην πραγματικότητα το όριο μιας σειράς με άπειρους όρους. Κρύβει δηλαδή μέσα του έναν αλγόριθμο ο οποίος προσθέτει άπειρους όρους. (αλγόριθμος που προσθέτει άπειρους όρους???  :(σίγουρα θα έχω τρελαθεί)
Το αναφέρω όμως γιατί παραπάνω είχες πει το εξής:
Κάθε μαθηματικός ορισμός (εξ' ορισμού) είναι μια πεπερασμένη συμβολοσειρά. Άρα μπορεί να χρησιμοποιηθεί μια χαρά στον υπολογιστή. Σ' ένα σύνηθες CAS υπάρχει για παράδειγμα το άπειρο άθροισμα (σειρά). Κάθε υπολογίσιμη πραγματική σταθερά γράφεται ως σειρά. Για παράδειγμα ο αριθμός d είναι η παρακάτω πεπερασμένη συμβολοσειρά στο maxima:

sum(product(1−(product(1−product(sin((%pi*k+%pi*i)/p)^2/sin((%pi*k)/p)^2,k,1,p−1),p,2,sqrt(i)))*product(1−product(sin((%pi*(2*k−i+2)+%pi*k)/p)^2/sin((%pi*k)/p)^2,k,1,p−1),p,2,sqrt(2*k−i+2)),i,2,k+1)/10^k,k,1,inf);

ουσιαστικά επειδή δεν μπορείς να υπολογίσεις τον αριθμό θεωρείς ως αναπαράστασή του τον αλγόριθμο υπολογισμού του. Διότι ο συμβολισμός με το Σ είναι ένας αλγόριθμος υπολογισμού σειράς άπειρων όρων.
Με το ίδιο ακριβώς σκεπτικό θεωρώ και εγώ τον παρακάτω αλγόριθμο ή για να είμαι πιο ακριβής την παρακάτω πεπερασμένη συμβολοσειρά:
Κώδικας: C++
  1. Goldbach = True
  2. for (i=2; Goldbach ; i+=2)
  3.    Goldbach = False
  4.    for (j=2; j<i; i++)
  5.          if (j is prime and i–j is prime)
  6.                  Goldbach = True
  7.    if not Goldbach  return False;
  8. return Goldbach;
  9.  

η οποία δίνει την απάντηση στο ερώτημα αν ισχύει η εικασία του Goldbach ή όχι
Με το ίδιο ακριβώς σκεπτικό που εσύ χρησιμοποιείς τον αλγόριθμο υπολογισμού ως πεπερασμένη συμβολοσειρά
μπορώ και εγώ να θεωρήσω τον  παραπάνω αλγόριθμο ο οποίος λύνει την εικασία του Goldbach επίσης ως πεπερασμένη συμβολοσειρά. άρα με το ίδιο σκεπτικό το παραπάνω αποτελεί τη λύση της εικασίας.

ΥΓ. Για την ιστορία η εικασία του Goldbach ισχύει για όλους τους αριθμούς μέχρι τον 4 × 1018 οπότε στον "πραγματικό" κόσμο μάλλον ισχύει

Προφανώς αγνοείς πως ορίζεται ο πολλαπλασσιασμός και η πρόσθεση πραγματικών αριθμών, διαφορετικά θα καταλάβαινες γιατί είναι αλγοριθμικά υπολογίσιμα (στην περίπτωση βέβαια που είναι υπολογίσιμα και τα τελούμενα). Να σου εξηγήσω:

ένας πραγματικός αριθμός είναι μια κλάση ισοδυναμίας ακολουθιών (ρητών αριθμών) Cauchy και ο αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί με ένα μέλος της κλάσης. Για παράδειγμα, ο αριθμός π μπορεί να αναπαρασταθεί με την ακόλουθη ρητή ακολουθία Cauchy:

3,   3.1,   3.14 ,  3.141,   3.1415,  3.14159,  ....

Υπάρχει αλγόριθμος που παράγει τον νιοστό όρο της ακολουθίας, ο οποίος είναι μια πεπερασμένη συμβολοσειρά. Ο αλγόριθμος αυτός είναι εξ' ορισμού η ακολουθία, άρα είναι εξ' ορισμού μια μορφή αναπαράστασης του  πραγματικού αριθμού. Αν ο πραγματικός αριθμός δεν είναι υπολογίσιμος, είναι ορίσιμος, που σημαίνει ότι ορίζεται σε κάποια μαθηματική θεωρία. Ο πραγματικός αριθμός αυτός τότε είναι η πεπερασμένη συμβολοσειρά του ορισμού του στην μαθηματική θεωρία στην οποία ορίζεται. That's it. Δεν υπάρχει κάτι άλλο για να υπολογίσεις, αυτό που λες εσύ "υπολογισμό πραγματικού αριθμού" λέγεται κοινώς ρητή προσέγγιση, αλλά άπαξ και κάνεις κάτι τέτοιο δεν είσαι πια στο σύμπαν των πραγματικών, αλλά των ρητών.

Πως ορίζεται η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός πραγματικών:

Ο πραγματικός αριθμός e αναπαριστάνεται με τη ρητή ακολουθία Cauchy:

2,   2.7,   2.71,   2.718,   2.7182,   2.71828, ...

Ο πραγματικός αριθμός π+e ορίζεται ως εξής:

2+3,   3.1 + 2.7,   3.14 + 2.71,   3.141 + 2.718, 3.1415 + 2.7182, 3.14159 + 2.71828, ...

Ο αλγόριθμος που κάνει το παραπάνω είναι ο πραγματικός αριθμός π+e. That's it.

Αναλόγως ορίζεται ο πολλαπλασιασμός πραγματικών.

Αυτά είναι στάνταρ, καθιερωμένα, mainstream θεμελιώδη μαθηματικά. Όποιος θέλει τα δέχεται, όποιος δεν θέλει δεν τα δέχεται. Πολλές πρόοδοι στην ιστορία των μαθηματικών έγιναν με την εισαγωγή αξιωμάτων που φαίνονταν τουλάχιστον "περίεργα" την εποχή που προτάθηκαν. Όμως, από την μεριά μου έκανα αυτό το ποστ βασιζόμενος σε αποδείξεις και επιχειρήματα τα οποία προκύπτουν (θεωρώ) από αυτά τα θεμελιώδη mainstream μαθηματικά. Δεν αμφισβητώ τα θεμέλια, αντίθετα επιχειρώ να αποδείξω τους ισχυρισμούς μου με αυτά: βασιζόμενος στα θεμέλια αμφισβητώ έναν ορισμό του τι είναι λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης, ο οποίος καθίσταται απαρχαιωμένος στο περιβάλλον των συγχρονων μαθηματικών, αφού πηγάζει από εποχές που δεν ήταν γνωστός ακόμα ο ορισμός του αλγορίθμου με την αυστηρότητα της μηχανής Turing. Πρόκειται για update, όχι για αμφισβήτηση θεμελίων. Αν προτίθεσαι να δημιουργήσεις θεμελιωδώς καινούργια μαθηματικά και επέλεξες το ποστ μου για να το ανακοινώσεις ωστόσο, είναι ιδιαίτερη τιμή για μένα :). Αν έχεις κάνει κάποια προηγούμενη δημοσίευση σχετικά θα χαρώ να μου δώσεις παραπομπή..

Για την εικασία του Goldbach:

Ο αλγόριθμος που παρουσιάζεις δεν πρόκειται να φτάσει ποτέ στην γραμμή 8. Είτε θα επιστρέψει false στην γραμμή 7, είτε δεν θα τερματίσει. Για να είναι αλγόριθμος που αποφασίζει την εικασία του Goldbach θα πρέπει να μπορεί να επιστρέψει και true (just in case). Η άρνηση της εικασίας του Goldbach είναι ημι-αποφασίσιμη, αλλά δεν είναι αποδειγμένα αποφασίσιμη, αυτό είναι το πρόβλημα και το πρόβλημα δεν είναι η λύση.

υγ
"Ιn mathematics you don't understand things. You just get used to them"- John von Neumann

« Τελευταία τροποποίηση: 21 Μάρ 2017, 01:54:57 πμ από gbougioukas »