Αποστολέας Θέμα: Μηδέν στη μηδενική  (Αναγνώστηκε 1676 φορές)

gbougioukas

  • Δεινόσαυρος
  • *****
  • Μηνύματα: 111
Μηδέν στη μηδενική
« στις: 13 Μάρ 2017, 04:39:27 μμ »
Έγραψα ένα άρθρο στο μπλόγκ μου σχετικά. Θα με ενδιέφερε η γνώμη σας τόσο όσον αφορά το άρθρο, όσο και για το θέμα γενικότερα.

Γενικά, θεωρώ ότι δεν υπάρχει τίποτα στα μαθηματικά (τουλάχιστον μέχρι τώρα) που να απαγορεύει τον ορισμό 00=1. Αντίθετα, όλα τον υπαγορεύουν!
« Τελευταία τροποποίηση: 13 Μάρ 2017, 07:35:17 μμ από gbougioukas »

gpapargi

  • Γενικός διαχειριστής
  • *****
  • Μηνύματα: 2408
  • I 'm not young enough to know everything
Απ: Μηδέν στη μηδενική
« Απάντηση #1 στις: 14 Μάρ 2017, 10:59:31 πμ »
Για να συμφωνήσω με ένα τέτοιο ορισμό  θα ήθελα προσεγγίζοντας το 0^0 με συναρτήσεις να κάνει 1 και όχι 0. Δηλαδή αν πάρω 2 συναρτήσεις f και g που τείνουν και οι δυο στο 0, όταν το x τείνει σε κάποιο x0, θα ήθελα αυτό να κάνει 1 και όχι 0. Αλλιώς δε θα μου άρεσε ένας τέτοιος ορισμός.
Αν πάρω f(x)=e^(-1/x^4) και g(x)=x^2 και βρω το όριο καθώς το x τείνει στο 0 τότε και η f και η g τείνουν στο 0. Αλλά η f(x)^g(x) τείνει το 0 και όχι στο 1 (εκτός αν μου ξέφυγε κάτι). Άρα δε συμφωνώ.
Γιώργος Παπαργύρης (gpapargi@hotmail.com)

gbougioukas

  • Δεινόσαυρος
  • *****
  • Μηνύματα: 111
Απ: Μηδέν στη μηδενική
« Απάντηση #2 στις: 14 Μάρ 2017, 11:57:54 πμ »
Για να συμφωνήσω με ένα τέτοιο ορισμό  θα ήθελα προσεγγίζοντας το 0^0 με συναρτήσεις να κάνει 1 και όχι 0. Δηλαδή αν πάρω 2 συναρτήσεις f και g που τείνουν και οι δυο στο 0, όταν το x τείνει σε κάποιο x0, θα ήθελα αυτό να κάνει 1 και όχι 0. Αλλιώς δε θα μου άρεσε ένας τέτοιος ορισμός.
Αν πάρω f(x)=e^(-1/x^4) και g(x)=x^2 και βρω το όριο καθώς το x τείνει στο 0 τότε και η f και η g τείνουν στο 0. Αλλά η f(x)^g(x) τείνει το 0 και όχι στο 1 (εκτός αν μου ξέφυγε κάτι). Άρα δε συμφωνώ.

Το "00" είναι δύναμη με βάση την πραγματική σταθερή 0 και εκθέτη την πραγματική σταθερή 0, και όχι το όριο μιας δύναμης με βάση μια συνάρτηση του x και εκθέτη μια συνάρτηση του x, των οποίων το όριο είναι το 0 καθώς το x τείνει σε κάποιο x0. Αυτή η εξίσωση που κάνεις (όχι μόνο εσύ δηλαδή) σημαίνει το παρακάτω (το οποίο ΔΕΝ ισχύει (γενικά), είτε ορίσεις 00 = 1, είτε θεωρήσεις ότι δεν ορίζεται - πρόσεξε ότι με βάση την υπόθεση που κάναμε ότι το όριο των f(x), g(x) είναι το 0, το δεύτερο μέλος της ισότητας είναι δύναμη με βάση και εκθέτη την πραγματική σταθερή 0):



Το "00" που εννοείς είναι μια μετα-μαθηματική ονομασία την οποία μπερδεύεις μετά με συντακτικά αντικείμενα. Είναι σαν ονομάζεις την "απροσδιόριστη μορφή 00" ας πουμε "απροσδιόριστη μορφή 5" (γιατί είναι η πέμπτη πχ σε μια λίστα απροσδιόριστων μορφών) και να έρχεσαι μετά και να λες ότι δεν ορίζεται η πραγματική σταθερή 5 !
 
« Τελευταία τροποποίηση: 14 Μάρ 2017, 12:17:40 μμ από gbougioukas »

gpapargi

  • Γενικός διαχειριστής
  • *****
  • Μηνύματα: 2408
  • I 'm not young enough to know everything
Απ: Μηδέν στη μηδενική
« Απάντηση #3 στις: 14 Μάρ 2017, 01:44:43 μμ »
Δεν είπα πουθενά ότι το 0^0 είναι το όριο της f(x)^g(x) όταν η κάθε μια τείνει στο 0.  Το 0^0 δεν έχει νόημα με βάση τον ορισμό της δύναμης. Αν θέλουμε να έχει νόημα θα πρέπει να δώσουμε κάποιο ορισμό. Τι είναι αυτό που θα μας κάνει να το ορίσουμε σαν 1 ή 0 ή 2 ή οτιδήποτε; Προφανώς το να μη μας δημιουργεί κάποιο πρόβλημα αλλού. Θέλουμε να κάνουμε μια γενίκευση του ορισμού. Αυτό που είπα είναι ότι θα με χάλαγε ένας ορισμός 0^0=1 αν εγώ μπορούσα να βρω f,g που να τείνουν στο 0 και το f(x)^g(x) να τείνει στο 0.
Να το πω αλλιώς. Έστω η συνάρτηση h(x)=f(x)^g(x) όπου f και g οι συναρτήσεις που όρισα στο προηγούμενο μήνυμά μου. Η συνάρτηση h ορίζεται παντού εκτός από το 0. Θέλω  να την ορίσω και στο 0, να πω δηλαδή πόσο κάνει το h(0).
Ποια θα ήταν η λογική κίνηση; Να δώσω σαν τιμή στο 0 την τιμή του ορίου ώστε να έχω μια συνεχή συνάρτηση. Μπορώ αν θέλω να δώσω οτιδήποτε πχ h(0)=1000 αλλά δε θα είχα συνεχή συνάρτηση. Η λογική κίνηση είναι να δώσω σαν τιμή την τιμή του ορίου. Ορίζω λοιπόν h(0)=0 και «βουλώνω την τρύπα» στη γραφική παράσταση. Αν δε θέλω δεν την ορίζω στο 0. Δεν έχω καμιά υποχρέωση να το κάνω. Αλλά αν θέλω να την ορίσω θα τις έδινα την τιμή του ορίου για να δένει με τα υπόλοιπα.
Πίσω στο 0^0. Αν για κάθε f,g που τείνουν στο 0 έχω και το f(x)^g(x) να τείνει στο 1 τότε δε θα είχα πρόβλημα να ορίσω ότι 0^0 = 1. Ομοίως αν για κάθε f,g που τείνουν στο 0 η f(x)^g(x) τείνει πάντα στο 0, δε θα είχα πρόβλημα να θέσω 0^0=0. Αλλά αν άλλοτε το όριο είναι 0 και άλλοτε είναι 1, εγώ προσωπικά δε θέλω να ορίσω το 0^0 ούτε σαν 0 ούτε σαν 1.
Γιώργος Παπαργύρης (gpapargi@hotmail.com)

gbougioukas

  • Δεινόσαυρος
  • *****
  • Μηνύματα: 111
Απ: Μηδέν στη μηδενική
« Απάντηση #4 στις: 14 Μάρ 2017, 03:04:53 μμ »
@gpapargi

Όπως σωστά είπες...οι ορισμοί δεν πρέπει να δημιουργούν προβλήματα αλλού. Ωστόσο, δεν ανέφερες κάποιο συγκεκριμένο πρόβλημα που δημιουργεί ο ορισμός 00=1, εκτός από το ότι δεν "το θέλεις προσωπικά" ή "σε χαλάει". Δεν αμφιβάλλω ότι πρόκειται περί αυστηρά προσωπικής θέσης, μιας και δεν το γράφει πουθενά ότι ορίζουμε τις δυνάμεις πραγματικών σταθερών με βάση... την συνέχεια των συνάρτήσεων. Γεγονός είναι ότι ο ορισμός 00=1 δεν δημιουργεί κάποιο τουλάχιστον γνωστό πρόβλημα, δηλαδή κάποια αντίφαση, όσον αφορά συγκεκριμένα την συνέχεια των συναρτήσεων ή και την ανάλυση γενικότερα - πέρα από τις όποιες προσωπικές αρέσκειες ή δυσαρέσκειες. Αντίθετα, ο μη-ορισμός δημιουργεί ένα πλήθος εξαιρέσεων συγκεκριμένα στην ανάλυση (άσε κατά μέρος τα μαθηματικά γενικότερα - αλήθεια τι γίνεται με το διωνυμικό θεώρημα;) χωρίς να υπάρχει κανένας απολύτως λόγος. Δες για παράδειγμα την (τζάμπα) εξαίρεση του n=1 από τον κανόνα παραγώγισης (xn)' = nxn-1 στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ' ΓΕΛ. Αν ίσχυε ο ορισμός 00=1, θα είχαμε  (x1) = 1x1-1=x0=1, όπως έχουμε και χωρίς τον ορισμό 00=1 και χωρίς να χρειάζεται να δώσουμε το ειδικό θεώρημα (x)'=1. Αν τα μαθηματικά λειτουργούσαν έτσι γενικότερα ("επειδή έτσι μ' αρέσει"), ο Wiles ακόμα εξαιρέσεις θα έγραφε. Ευτυχώς, δεν λειτουργούν έτσι.

gpapargi

  • Γενικός διαχειριστής
  • *****
  • Μηνύματα: 2408
  • I 'm not young enough to know everything
Απ: Μηδέν στη μηδενική
« Απάντηση #5 στις: 14 Μάρ 2017, 03:33:13 μμ »
Ναι είναι η προσωπική μου άποψη ότι δε θα ήθελα να οριστεί το 0^0=1 για το λόγο που ανέφερα. Αλλά και η αντίθετη άποψη, δηλαδή  ότι πρέπει να οριστεί ότι  0^0=1, είναι απλώς η δική σου προσωπική άποψη και όχι κάτι καθολικά αποδεκτό, κρίνοντας από το ότι δεν έχει γίνει ακόμα ο ορισμός που προτείνεις.
Κατά τη γνώμη μου, δεν είναι εδώ το μέρος για τέτοια συζήτηση. Καλύτερα να υποβάλεις τις απόψεις σου σε επιστημονικό έλεγχο σε κάποιο μαθηματικό περιοδικό. Επίσης το site www.mathematica.gr έχει καθαρά μαθηματικό αντικείμενο, με συμμετοχές και ακαδημαϊκών και πιστεύω ότι είναι το κατάλληλο  μέρος για τη συγκεκριμένη συζήτηση.
Γιώργος Παπαργύρης (gpapargi@hotmail.com)

gbougioukas

  • Δεινόσαυρος
  • *****
  • Μηνύματα: 111
Απ: Μηδέν στη μηδενική
« Απάντηση #6 στις: 15 Μάρ 2017, 11:21:29 πμ »
@gpapargi

Θεωρώ αυτονόητο ότι εδώ είναι επιστημονικός χώρος όπου διεξάγεται συζήτηση μεταξύ επιστημόνων, με επιστημονικά κριτήρια. Αν δεν θεωρείς τον εαυτό σου επιστήμονα δεν καταλαβαίνω τον ρόλο σου εδώ, αλλά και στην συγκεκριμένη συζήτηση, όπου αφού πρώτα έκανες δύο ποστ, ύστερα με παρέπεμψες σε "επιστημονικό έλεγχο". Η "επίκληση αυθεντίας" είναι λογική πλάνη, και ως τέτοια είναι ενάντια στο επιστημονικό πνεύμα.

Το υπό συζήτηση θέμα δεν αφορά περισσότερο τους απόφοιτους μαθηματικών τμημάτων, διότι πολύ απλά θα ρωτήσει ο μαθητής τον καθηγητή πληροφορικό γιατί η Python δίνει 0**0 = 1 ή ο διερμηνευτής Γλώσσας 0^0= 1, ενώ η ανάλυση λέει ότι δεν ορίζεται; Τι γίνεται εκεί πέρα, θα του πεις, "κάτσε να ρωτήσουμε κανένα επιστήμονα";

Θεωρώ επίσης αυτονόητο ότι κάποιος που έχει σπουδάσει την επιστήμη της κατασκευής και των ιδιοτήτων του αυστηρά ορισμένου μαθηματικού αντικειμένου που λέγεται "πρόγραμμα" (διότι υπάρχει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία ανάμεσα σε κλάσεις ισοδυναμίας προγραμμάτων και σε κλάσεις ισοδυναμίας μ-Αναδρομικών συναρτήσεων, οι οποίες είναι αναπαραστίσιμες στην πρωτοβάθμια αριθμητική Peano), έχει (και απαιτείται να έχει) γενικότερα ένα υπόβαθρο στα μαθηματικά εξίσου ισχυρό με αυτό κάποιου αποφοίτου του τμήματος μαθηματικών, γεγονός που επιβεβαιώνεται τυπικά από τα προγράμματα σπουδών των τμημάτων πληροφορικής στην πλειονότητα των περιπτώσεων. 
« Τελευταία τροποποίηση: 10 Απρ 2017, 09:15:20 μμ από gbougioukas »

gpapargi

  • Γενικός διαχειριστής
  • *****
  • Μηνύματα: 2408
  • I 'm not young enough to know everything
Απ: Μηδέν στη μηδενική
« Απάντηση #7 στις: 15 Μάρ 2017, 12:23:19 μμ »
Το αν στην ανάλυση ορίζεται το 0^0=1 είναι καθαρά θέμα μαθηματικών. Ακόμα κι αν μας έπειθες, δε βλέπω κάποια αξία σε αυτό.
Εσύ μιλάς για κάποια αλλαγή σε αυτό που ισχύει στα μαθηματικά. Αυτό δεν αποφασίζεται σε κάποιο forum, πόσο μάλλον αν αυτό είναι πληροφορικής. Γιατί δεν κάνεις δημοσίευση σε κάποιο συνέδριο να σε δουν αυτοί που πρέπει;
Είναι σαν να προτείνω εγώ κάποιο άλλο ορισμό (πχ στη συνέχεια της συνάρτησης)  και αντί να το παρουσιάσω εκεί που πρέπει, που θα το δουν και θα το αξιολογήσουν αυτοί που πρέπει, να το παρουσιάσω εδώ. Ποιο το νόημα σε κάτι τέτοιο; Εδώ μπορεί να γίνει μια χαλαρή κουβέντα με επιχειρήματα. Μέχρι εκεί.
Αν πραγματικά θέλεις αλλαγή στο ορισμό η οδός είναι άλλη. Και πραγματικά δεν καταλαβαίνω γιατί δεν θέτεις το θέμα σε ένα αμιγώς μαθηματικό forum. Δεν είναι επίκληση στην αυθεντία αυτό. Δεν είπα «είναι έτσι επειδή το είπε ο τάδε επώνυμος». Σου είπα «μίλα με άτομα που είναι ο τομέας τους». Μπορεί πχ ο καθηγητής μαθηματικών  (και διακεκριμένος αναλύστας στο πανεπιστήμιο Κρήτης), Μιχάλης Λάμπρου που είναι μέλος και συντονιστής στο www.mathematica.gr  να σου δώσει μια οπτική και κάποια επιχειρήματα που δεν τα έχεις φανταστεί.
Δε θα έπρεπε εσύ από μόνος σου να επιδιώκεις μια τεχνική συζήτηση με τέτοια άτομα; Γιατί δεν απευθύνεσαι ΚΑΙ σε αυτούς που θα σου δώσουν την εγκυρότερη άποψη πάνω στο θέμα;
Γιώργος Παπαργύρης (gpapargi@hotmail.com)

gbougioukas

  • Δεινόσαυρος
  • *****
  • Μηνύματα: 111
Απ: Μηδέν στη μηδενική
« Απάντηση #8 στις: 15 Μάρ 2017, 01:28:11 μμ »
Το αν στην ανάλυση ορίζεται το 0^0=1 είναι καθαρά θέμα μαθηματικών.

Δηλαδή το αν το 00=1 ορίζεται στην python, στον διερμηνευτή Γλώσσας, στο Google calculator ή στο πρότυπο IEEE 754 (που φυσικά ορίζεται σ' όλα αυτά) τίνος θέμα είναι; Ή μήπως η python, ο διερμηνευτής Γλώσσας, το Google calculator και το πρότυπο IEEE 754 αγνοούν τα μαθηματικά και ορίζουν ό,τι γουστάρουν; Ή μήπως τελικά τα μαθηματικά είναι η ανάλυση;

ozorgnax

  • Θαμώνας
  • ***
  • Μηνύματα: 34
Απ: Μηδέν στη μηδενική
« Απάντηση #9 στις: 15 Μάρ 2017, 11:50:41 μμ »
@gbougioukas Παρατηρώ ότι κάθε φορά που ανοίγεις ένα θέμα, αυτό θα οδηγηθεί με μαθηματική ακρίβεια (έπιασες το υπονοούμενο ε;) σε ειρωνείες, απαξίωση από μέρους σου προς τους συνομιλητές σου και απαρίθμηση των μαθηματικών σου γνώσεων. Ως εκ τούτου λοιπόν δε νομίζω ότι πραγματικά σε ενδιαφέρει η άποψη των μελών του φόρουμ, αλλά αποκλειστικά και μόνο η επιβεβαίωση του ανασφαλούς σου εγωισμού. Με μια λέξη κουράζεις.

gbougioukas

  • Δεινόσαυρος
  • *****
  • Μηνύματα: 111
Απ: Μηδέν στη μηδενική
« Απάντηση #10 στις: 16 Μάρ 2017, 12:17:51 πμ »
@ozorgnax

Επιχειρήματα ad hominem δεν έχουν θέση στον επιστημονικό διάλογο. Αν δε σε παίρνει, μην ασχολείσαι, δεν είσαι υποχρεωμένος.

bugman

  • Δεινόσαυρος
  • *****
  • Μηνύματα: 218
  • The Bug Eater
    • Πληροφορική Προγραμματισμός
Απ: Μηδέν στη μηδενική
« Απάντηση #11 στις: 16 Μάρ 2017, 09:55:36 πμ »
http://www.askamathematician.com/2010/12/q-what-does-00-zero-raised-to-the-zeroth-power-equal-why-do-mathematicians-and-high-school-teachers-disagree/λ

Ωραίο άρθρο....


Να προσθέσω μόνο ότι η ύψωση σε δύναμη είναι μια επαναληπτική διαδικασία που ξεκινάει με αρχική τιμή 1, και όταν η δύναμη είναι 0, έχουμε απουσία επανάληψης άρα παραμένει η αρχική τιμή 1.
« Τελευταία τροποποίηση: 16 Μάρ 2017, 10:27:10 πμ από bugman »

gpapargi

  • Γενικός διαχειριστής
  • *****
  • Μηνύματα: 2408
  • I 'm not young enough to know everything
Απ: Μηδέν στη μηδενική
« Απάντηση #12 στις: 16 Μάρ 2017, 11:08:36 πμ »
Δηλαδή το αν το 00=1 ορίζεται στην python, στον διερμηνευτή Γλώσσας, στο Google calculator ή στο πρότυπο IEEE 754 (που φυσικά ορίζεται σ' όλα αυτά) τίνος θέμα είναι; Ή μήπως η python, ο διερμηνευτής Γλώσσας, το Google calculator και το πρότυπο IEEE 754 αγνοούν τα μαθηματικά και ορίζουν ό,τι γουστάρουν;
Είναι επιθυμητό αλλά όχι απόλυτα δεσμευτικό για ένα προγραμματιστικό περιβάλλον να είναι απόλυτα συμβατό με τα μαθηματικά. Για παράδειγμα, πριν από μερικά χρόνια για να δούμε πως θα οριστεί το ακέραιο μέρος στο Διερμηνευτή κάναμε ψηφοφορία.
http://alkisg.mysch.gr/steki/index.php?topic=928.0
Κάποιοι ψήφισαν όπως στα μαθηματικά, κάποιοι όπως σε κάποιες γλώσσες. Και μόνο η ύπαρξη ψηφοφορίας ενώ κάποια στιγμή είδαμε τι λένε τα μαθηματικά δείχνει αυτό που σου λέω: ότι είναι επιθυμητό αλλά όχι απόλυτα δεσμευτικό. Μπορεί κάποια γλώσσα να το υλοποιήσει αλλιώς γιατί είναι πιο βολικό.
Ή μήπως τελικά τα μαθηματικά είναι η ανάλυση;
Η ανάλυση, η άλγεβρα η γεωμετρία… γενικώς τα μαθηματικά. Δεν μπορείς να πεις ότι πρέπει να οριστεί ότι 0^0=1 επειδή έτσι το κάνει πχ η python. Θα πρέπει να πείσεις τη μαθηματική κοινότητα για αυτό. Πώς να το κάνουμε;
Γιώργος Παπαργύρης (gpapargi@hotmail.com)

gbougioukas

  • Δεινόσαυρος
  • *****
  • Μηνύματα: 111
Απ: Μηδέν στη μηδενική
« Απάντηση #13 στις: 16 Μάρ 2017, 04:45:03 μμ »
Είναι επιθυμητό αλλά όχι απόλυτα δεσμευτικό για ένα προγραμματιστικό περιβάλλον να είναι απόλυτα συμβατό με τα μαθηματικά. Για παράδειγμα, πριν από μερικά χρόνια για να δούμε πως θα οριστεί το ακέραιο μέρος στο Διερμηνευτή κάναμε ψηφοφορία.
http://alkisg.mysch.gr/steki/index.php?topic=928.0
Κάποιοι ψήφισαν όπως στα μαθηματικά, κάποιοι όπως σε κάποιες γλώσσες. Και μόνο η ύπαρξη ψηφοφορίας ενώ κάποια στιγμή είδαμε τι λένε τα μαθηματικά δείχνει αυτό που σου λέω: ότι είναι επιθυμητό αλλά όχι απόλυτα δεσμευτικό. Μπορεί κάποια γλώσσα να το υλοποιήσει αλλιώς γιατί είναι πιο βολικό.

Εύλογο το επιχείρημά σου, πλην όμως υπάρχουν δύο αποφασιστικές διαφορές ανάμεσα σε μια δύναμη με βάση και εκθέτη πραγματικές (και μάλιστα φυσικές) σταθερές (00) και στην συνάρτηση του ακέραιου μέρους:

α) Μια δύναμη με βάση και εκθέτη φυσικές σταθερές είναι περισσότερο "θεμελιώδης/στοιχειώδης" από την συνάρτηση ακέραιο μέρος.

Το "θεμελιώδης/στοιχειώδης" έχει καθαρά ποσοτικό χαρακτήρα. Πόσες φορές κατά μέσο όρο γενικότερα σχετικά με τα μαθηματικά όλων των βαθμίδων και κλάδων χρησιμοποιείται η συνάρτηση ακέραιο μέρος και πόσες μια δύναμη με βάση και εκθέτη μια φυσική σταθερή; Ήδη από την 6η Δημοτικού ο μαθητής έρχεται σε επαφή με δυνάμεις φυσικών αριθμών και επομένως με κάτι τέτοιο:

00+4

Δεν μπορεί λοιπόν κάτι εξίσου στοιχειώδες όσο το κομπιουτεράκι ή το κομπιουτεράκι του Google να δίνει 5 και να έρχεται η ανάλυση 1-2 χρόνια μετά και να λέει ότι δεν ορίζεται. Αυτό το παράδοξο δεν μπορεί να συμβαίνει και η εκτίμησή μου είναι ότι δεν θα συμβαίνει για πολύ ακόμα.

β) Το πως θα οριστεί η συνάρτηση ακέραιο μέρος είναι ανεξάρτητο από το πόσες εξαιρέσεις και συνεπαγόμενα πόσα θεωρήματα θα έχεις μέσα σε μια μαθηματική θεωρία, ενώ το αν θα οριστεί η δύναμη 00 δεν είναι.

Ήδη, στο άρθρο μου παραθέτω εντελώς ενδεικτικά δύο "τζάμπα" εξαιρέσεις από τα μαθηματικά προσανατολισμού Γ' ΓΕΛ οι οποίες δημιουργούνται από τον μη-ορισμό 00 (=1) μέσα σ' αυτήν την ίδια την ανάλυση, χωρίς ο ορισμός αυτός να δημιουργεί κανένα πρόβλημα, που θα πει "αντίφαση", ούτε στην ανάλυση ούτε πουθενά (τουλάχιστον όχι γνωστό πρόβλημα, το ίδιο όμως ισχύει και για το 20 ή το 22). Είναι παράλογο να φορτώνεις οποιαδήποτε μαθηματική θεωρία με εξαιρέσεις χωρίς να υπάρχει κανένας απολύτως λόγος. Η λίστα με τις τζάμπα εξαιρέσεις εξαιτίας ειδικά αυτού του μη-ορισμού δεν περιορίζεται σ' αυτά τα δύο ενδεικτικά παραδείγματα, αλλά θα μπορούσε να εμπλουτιστεί με πολλά περισσότερα. Αμέσως-αμέσως, αν ορίσουμε 00=1, ο βαθμός του σταθερού πολυωνύμου (συμπεριλαμβανομένου του μηδενικού) μπορεί να είναι άνετα 0, χωρίς κανένα πρόβλημα και με λιγότερες εξαιρέσεις!

Το α) παραπάνω είναι σοβαρό πρόβλημα, το β) είναι επιχείρημα προς την λύση του προβλήματος. Είναι μαθηματικό-λογικό επιχείρημα, και όχι αρέσκεια, σημαίνει περισσότερο αποκρυσταλλωμένα:

1. Λιγότερες εξαιρέσεις
2. Περισσότερα θεωρήματα
3. Καμία γνωστή αντίφαση


Η απόφαση της Google να δίνει το κομπιουτεράκι της μηχανής αναζήτησης 00 = 1 προφανώς έχει να κάνει με κάποιο σχετικό με το παραπάνω ή άλλο καθαρά μαθηματικό επιχείρημα, και δεν σχετίζεται με το...πως βολεύει προγραμματιστικά τους προγραμματιστές της.

Δεν μπορείς να πεις ότι πρέπει να οριστεί ότι 0^0=1 επειδή έτσι το κάνει πχ η python. Θα πρέπει να πείσεις τη μαθηματική κοινότητα για αυτό. Πώς να το κάνουμε;

Προφανώς και εδώ όπως και με το κομπιουτεράκι της Google είναι αντίστροφα τα πράγματα. Υπάρχει μαθηματικό επιχείρημα πίσω από την επιλογή. Φυσικά αυτή η μαθηματική "κοινότητα" δεν υπάρχει προς το παρόν, κυρίως όμως με την εξαίρεση ενός μόνο μαθηματικού κλάδου, αυτού της ανάλυσης. Να σου πω εδώ μια ιστορία:

Ήταν κάποτε μια επιστήμη που την έλεγαν μαθηματικά. Στις αρχές του 20ου αιώνα ο μαθηματικός Skolem εισήγαγε ένα εξωτικό (τότε) μαθηματικό αντικείμενο τις "πρωτόγονες αναδρομικές συναρτήσεις", δηλαδή κάποιες συναρτήσεις από τους φυσικούς αριθμούς στους φυσικούς αριθμούς ικανές να υπολογίζουν ό,τι ακριβώς και ο διερμηνευτής της Γλώσσας χωρίς τις δομές επανάληψης ΟΣΟ... και ΜΕΧΡΙΣ_ΟΤΟΥ... Λίγο αργότερα, οι συναρτήσεις αυτές εμπλουτίστηκαν με μια επιπλέον κλάση και το σύνολο που προέκυψε ονομάστηκε μ-Αναδρομικές συναρτήσεις. Οι τελευταίες υπολογίζουν ό,τι ακριβώς και ο διερμηνευτής της Γλώσσας, και αποτελούν θεμελιώδες κομμάτι της απόδειξης των θεωρημάτων μη-πληρότητας του Γκέντελ.

Λίγα χρόνια μετά ο μαθηματικός Τούρινγκ εισήγαγε ένα σύνολο μαθηματικών αντικείμενων γνωστών ως μηχανές Turing το οποίο υπολογίζει ό,τι ακριβώς και οι μ-Αναδρομικές συναρτήσεις, δηλαδή ό,τι και ένας σύγχρονος ηλεκτρονικός υπολογιστής. Ένας νέος κλάδος των μαθηματικών γεννήθηκε. Αυτός ο κλάδος θα ήταν κάτι ασήμαντο σήμερα, πιθανώς θέμα μόνο κάποιας εξωτικής διδακτορικής διατριβής του μαθηματικού τμήματος, αν δεν είχε εφευρεθεί και υλικά μια μηχανή που να προσoμοιώνει την μηχανή Turing. Όπως όμως ξέρουμε, αυτή η υλική μηχανή εφευρέθηκε και είναι πανταχού παρούσα στο σύνολο της κοινωνικής ζωής (ubiquitous computing).

Όπως ήταν αναμένομενο ο νέος αυτός κλάδος των μαθηματικών αυτονομήθηκε και απόκτησε το δικό του ειδικό όνομα: "πληροφορική". Όπως, συμβαίνει με κάθε μαθηματικό αντικείμενο, για να μελετήσεις επισταμένα τις ιδιότητές του και να μπορείς να το κατασκευάζεις με συνέπεια όποτε απαιτείται, χρειάζεσαι ένα μεγάλο μέρος του συνόλου του μαθηματικού οπλοστασίου. Αυτή είναι και η τυπική περίπτωση των προγραμμάτων σπουδών πληροφορικής. Εξάλλου, και τα τμήματα μαθηματικών δεν διδάσκουν το σύνολο της επιστήμης των μαθηματικών, αλλά μόνο ένα μέρος τους. Επομένως, το τι θα οριστεί και τι δεν θα οριστεί στα μαθηματικά είναι θέμα της μαθηματικής κοινότητας αν και μόνο αν σ' αυτήν συμπεριλαμβάνεται και η πληροφορική. Αν την επιστήμη των μαθηματικών την κρίνεις από την επωνυμία του ακαδημαϊκού τμήματος, τότε το τι θα οριστεί και τι δεν θα οριστεί στα μαθηματικά είναι θέμα της "μαθηματικής" και της "πληροφορικής" κοινότητας. Υπενθυμίζω, σχετικά, ότι τα "διακριτά μαθηματικά" κατατάσσονται διεθνώς και τυπικά στον κλάδο της πληροφορικής.

Στην παρακάτω διάλεξη, ο πληροφορικός Χρήστος Παπαδημητρίου (τιμημένος με το βραβείο Gödel) εξηγεί γιατί "η πληροφορική είναι τα νέα μαθηματικά"

https://vimeo.com/25446513

Ξεχωρίζει, στην παραπάνω διάλεξη, η διαπίστωση ότι ένα από τα μεγαλύτερα  ανοιχτά προβλήματα των "μαθηματικών" σήμερα (αν όχι το μεγαλύτερο)  είναι ένα πρόβλημα "πληροφορικής": το πρόβλημα P vs NP
« Τελευταία τροποποίηση: 28 Μάρ 2017, 11:17:42 μμ από gbougioukas »

gpapargi

  • Γενικός διαχειριστής
  • *****
  • Μηνύματα: 2408
  • I 'm not young enough to know everything
Απ: Μηδέν στη μηδενική
« Απάντηση #14 στις: 17 Μάρ 2017, 05:28:09 μμ »
Διαφωνώ με πολλά από όσα γράφεις. Πχ το παρακάτω που αναφέρεσαι στο 4+0^0 βγάζει μάτι
Δεν μπορεί λοιπόν κάτι εξίσου στοιχειώδες όσο το κομπιουτεράκι ή το κομπιουτεράκι του Google να δίνει 5 και να έρχεται η ανάλυση 1-2 χρόνια μετά και να λέει ότι δεν ορίζεται.
Αλλοίμονο αν το κομπιουτεράκι του google, ήταν πιο θεμελιώδες από τη μαθηματική ανάλυση! Το 0^0 είναι θέμα συζήτησης από την εποχή του Euler. Είναι δυνατόν η ανάλυση να  έρχεται 1-2 χρόνια μετά το κομπιουτεράκι του Google!?!?!?!
Αλλά αν τα πιάσουμε ένα ένα η συζήτηση θα γίνει φιλοσοφική.
Μια διευκρινιστική ερώτηση θα ήθελα να κάνω μόνο: ποια η στάση σου απέναντι στους μαθηματικούς (ως προς το πτυχίο); Σκοπεύεις να τους πείσεις ή να τους παρακάμψεις;
Γιώργος Παπαργύρης (gpapargi@hotmail.com)

gbougioukas

  • Δεινόσαυρος
  • *****
  • Μηνύματα: 111
Απ: Μηδέν στη μηδενική
« Απάντηση #15 στις: 17 Μάρ 2017, 11:42:46 μμ »
Διαφωνώ με πολλά από όσα γράφεις. Πχ το παρακάτω που αναφέρεσαι στο 4+0^0 βγάζει μάτιΑλλοίμονο αν το κομπιουτεράκι του google, ήταν πιο θεμελιώδες από τη μαθηματική ανάλυση! Το 0^0 είναι θέμα συζήτησης από την εποχή του Euler. Είναι δυνατόν η ανάλυση να  έρχεται 1-2 χρόνια μετά το κομπιουτεράκι του Google!?!?!?!
Αλλά αν τα πιάσουμε ένα ένα η συζήτηση θα γίνει φιλοσοφική.
Μια διευκρινιστική ερώτηση θα ήθελα να κάνω μόνο: ποια η στάση σου απέναντι στους μαθηματικούς (ως προς το πτυχίο); Σκοπεύεις να τους πείσεις ή να τους παρακάμψεις;

Κοίτα, αν καποιος "μαθηματικός" (με πτυχίο τμήματος που φέρει την αυτή επωνυμία) δεν καταλαβαίνει ότι τα αξιώματα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού της πρωτοβάθμιας αριθμητικής Peano είναι πιο θεμελιώδη από την συνάρτηση is_prime(n), τι να πω, μάλλον δεν θα προσπαθούσα να τον πείσω, εσύ τι θα έκανες στην θέση μου;

gpapargi

  • Γενικός διαχειριστής
  • *****
  • Μηνύματα: 2408
  • I 'm not young enough to know everything
Απ: Μηδέν στη μηδενική
« Απάντηση #16 στις: 20 Μάρ 2017, 04:47:44 μμ »
Αυτό που προσπαθώ να καταλάβω είναι το  γιατί αποφεύγεις να μιλήσεις με τους μαθηματικούς του www.mathematica.gr  Κατά τη γνώμη σου δεν έχουν αρκετά υψηλό επίπεδο; Σου είπα ότι στη θέση σου με αυτούς θα μίλαγα. Εσύ επιμένεις να μη θέτεις το θέμα και εκεί.
Επίσης θα ήθελα να πω ότι το βιβλίο της β λυκείου στις σελίδες 161,162 ορίζει τις δυνάμεις με άρρητο εκθέτη μέσω ορίων. Βλέπει ότι το όριο πάει πάντα κάπου συγκεκριμένα και δίνει τον ορισμό. Αυτό έκανα κι εγώ για το 0^0 και είδα ότι σε αυτή την περίπτωση, διαφορετικές επιλογές συναρτήσεων οδηγούν άλλοτε σε 1 και άλλοτε σε 0 και έτσι εξηγώ το ότι δεν έχει δοθεί ο ορισμός.  Δεν καταλαβαίνω πιο είναι το πρόβλημα με την προσέγγιση μέσω ορίων προκειμένου να «ψηλαφίσουμε» το πρόβλημα. 
Γιώργος Παπαργύρης (gpapargi@hotmail.com)

gbougioukas

  • Δεινόσαυρος
  • *****
  • Μηνύματα: 111
Απ: Μηδέν στη μηδενική
« Απάντηση #17 στις: 20 Μάρ 2017, 07:54:04 μμ »
Αυτό που προσπαθώ να καταλάβω είναι το  γιατί αποφεύγεις να μιλήσεις με τους μαθηματικούς του www.mathematica.gr  Κατά τη γνώμη σου δεν έχουν αρκετά υψηλό επίπεδο; Σου είπα ότι στη θέση σου με αυτούς θα μίλαγα. Εσύ επιμένεις να μη θέτεις το θέμα και εκεί.
Επίσης θα ήθελα να πω ότι το βιβλίο της β λυκείου στις σελίδες 161,162 ορίζει τις δυνάμεις με άρρητο εκθέτη μέσω ορίων. Βλέπει ότι το όριο πάει πάντα κάπου συγκεκριμένα και δίνει τον ορισμό. Αυτό έκανα κι εγώ για το 0^0 και είδα ότι σε αυτή την περίπτωση, διαφορετικές επιλογές συναρτήσεων οδηγούν άλλοτε σε 1 και άλλοτε σε 0 και έτσι εξηγώ το ότι δεν έχει δοθεί ο ορισμός.  Δεν καταλαβαίνω πιο είναι το πρόβλημα με την προσέγγιση μέσω ορίων προκειμένου να «ψηλαφίσουμε» το πρόβλημα. 

Δεν αποφεύγω τίποτα φίλε μου, η κυρίαρχη άποψη αυτή την στιγμή στην μαθηματική και πληροφορική κοινότητα είναι 00 = 1, γι' αυτό το δίνει και το Google. Δημόσια εκθέτω τα επιχειρήματά μου και εδώ και στο μπλογκ μου, όποιος επιθυμεί ας μπει να σχολιάσει. Δεν έχω απορίες για να πάω στο mathematica.gr να μου τις λύσουν, έχω μαθηματικά επιχειρήματα, τα οποία δεν είναι ακριβώς "δικά" μου όπως είπα και παραπάνω (οι μηχανικοί του Google μπορεί να μην διαβαζουν το μπλογκ μου αλλά διαβάζουν Knuth: Two Notes on Notation). Ακόμα και με όρους ανάλυσης, να παραθέσω και εδώ (από το άρθρο στο μπλογκ μου) δύο αποφασιστικά επιχειρήματα:

1) Και οι πέτρες στην ανάλυση ξέρουν ότι η σειρά Taylor με κέντρο το 0 για την συνάρτηση ex είναι:



Με άλλα λόγια, για κάθε x:



Συνεπάγεται 00=1 (συμφωνούμε όλοι, φαντάζομαι, ότι 0!=1) .

2) (σχετικά με το κλασσικό επιχείρημα με τα όρια...)

...Πρόκειται για μια διαίσθηση του Cauchy, σε μια εποχή αρκετά μακρινή τόσο ώστε η συνολοθεωρία με το κενό της σύνολο να μην έχει καθιερωθεί ως θεμελιώδης πυρήνας των μαθηματικών όπως σήμερα, επομένως η ιδέα του γινομένου των στοιχείων του κενού συνόλου μάλλον να μην έχει κάποια ισχυρή σημασία...

Ο Cauchy λοιπόν παρατήρησε ότι αν στην δύναμη 00, τόσο την βάση όσο και τον εκθέτη, τα αντικαταστήσουμε με συναρτήσεις μιας μεταβλητής οι οποίες έχουν όριο το 0 καθώς το x τείνει στο 0, το όριο της δύναμης, τότε, δεν είναι πάντα ίδιο. Με άλλα λόγια αν έχουμε μια δύναμη με βάση μια συνάρτηση μίας πραγματικής μεταβλητής η οποία έχει όριο το 0 καθώς το x τείνει στο 0, και εκθέτη μία (όχι απαραίτητα ίση) συνάρτηση της ίδιας μεταβλητής με τα ίδια χαρακτηριστικά, αυτό δεν προεξοφλεί το όριο της δύναμης. Αυτό οδήγησε τον Cauchy στην διαίσθηση ότι η δύναμη 00 δεν πρέπει να ορίζεται, απουσία οποιασδήποτε άλλης εύλογης δικαιολόγησης ενός ορισμού, όπως μια τέτοια παρέχεται σήμερα από την αρχή του κενού γινομένου, για παράδειγμα.

Δεν γνωρίζω αν εκείνη την εποχή οριζόταν το ακέραιο μέρος ενός πραγματικού αριθμού x, ⌊x⌋  (ο μεγαλύτερος ακέραιος ο οποίος είναι μικρότερος ή ίσος του x), πάντως σήμερα ορίζεται και κανείς δεν διαφωνεί ότι:

⌊0⌋ = 0

Αν στο ⌊0⌋ αντικαταστήσουμε το 0, κατ’ αντίστοιχο τρόπο όπως στην περίπτωση 00, με συναρτήσεις με όριο το 0 καθώς το x τείνει στο 0, έστω f(x)=x, g(x)=x2, h(x) =-x2, για το όριο του ακέραιου μέρους των τελευταίων συναρτήσεων καθώς το x τείνει στο 0, παίρνουμε:



Με άλλα λόγια, με βάση την διαίσθηση του Cauchy, το ακέραιο μέρος του 0 δεν θα έπρεπε να ορίζεται!
« Τελευταία τροποποίηση: 20 Μάρ 2017, 11:13:18 μμ από gbougioukas »

gbougioukas

  • Δεινόσαυρος
  • *****
  • Μηνύματα: 111
Απ: Μηδέν στη μηδενική
« Απάντηση #18 στις: 21 Μάρ 2017, 12:01:12 πμ »
@gpapargi

Και επειδή μ' "έφαγες" με το mathematica.gr, μετά από ένα σύντομο ψάξιμο, βλέπω ότι συμφωνούν κι αυτοί (αν είναι δυνατόν να αμφισβητήσει κανείς το θεώρημα Taylor για την ex):

Ο γενικός συντονιστής Demetres (Επίκουρος Καθηγητής Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο UCLan Cyprus), αναφέρει κατά λέξη:

"Για παρόμοιους λόγους επιλέγουμε να ορίζουμε 00 = 1." (στο τέλος της τρίτης παραγράφου της τοποθέτησής του).
« Τελευταία τροποποίηση: 27 Μάρ 2017, 08:37:49 μμ από gbougioukas »

gpapargi

  • Γενικός διαχειριστής
  • *****
  • Μηνύματα: 2408
  • I 'm not young enough to know everything
Απ: Μηδέν στη μηδενική
« Απάντηση #19 στις: 21 Μάρ 2017, 01:40:58 μμ »
Διάβασα με πολύ ενδιαφέρον τη συζήτηση στο mathematica. Όντως ο Δημήτρης λέει ότι ορίζεται το 0^0=1. Πιο ενδιαφέρον έχει η παρακάτω τοποθέτηση του Λάμπρου, οποίος  το θεωρεί καλή ιδέα αλλά λέει πως δεν ορίζεται πάντα έτσι.
Όμως το μήνυμα που τα βάζει όλα στη θέση τους είναι το τελευταίο του Χρήστου Ντάβα, που απλώς δίνει ένα link στη Wikipedia. Το διάβασα και το κρίσιμο σημείο είναι η παράγραφος Μηδέν στη μηδενική δύναμη

Εκεί αναφέρονται και οι 2 απόψεις με την ιστορία τους. Λέει τα επιχειρήματα και των 2 πλευρών. Εσύ τυχαίνει να συμφωνείς με τη μια και εγώ τυχαίνει να συμφωνώ με την άλλη. Και οι 2 είναι εξίσου σεβαστές στην κοινότητα και η συγκεκριμένη διαφωνία φαίνεται ότι έχει απασχολήσει και άλλους χωρίς να έχει υπάρξει κάποια τελεσίδικη απόφαση. Άρα για μένα δεν υπάρχει περίπτωση να είναι κάποιος από τους 2 μας λάθος αφού και οι 2 απόψεις υπάρχουν και το θέμα δεν έχει διευθετηθεί οριστικά.
Θα γράψω μόνο 2 πράγματα που δεν τα είδα εκεί μέσα και αφορούν τον τρόπο που εγώ επιλέγω τη μια από τις 2 απόψεις:
1)Αν υπάρχουν 1000 λόγοι που υποδεικνύουν ένα ορισμό και μόνο ένας που να υποδεικνύει ότι δεν πρέπει να γίνει, αυτό σημαίνει ότι δεν πρέπει να γίνει. Θέλω όλοι οι δρόμοι να οδηγούν στο ίδιο μέρος για να κάνω το ορισμό. Βάζω σε πιο χαμηλή προτεραιότητα το ότι μας βολεύει. Σε πρώτη βάζω τη «συμφωνία» όλων των διαφορετικών δρόμων.
2)Στην  προσέγγιση μέσω συναρτήσεων θέλω υποχρεωτικά συνεχής συναρτήσεις, όχι ασυνεχείς. Ο λόγος είναι ότι η συνέχεια εμπεριέχει το στοιχείο του αιφνιδιασμού. Είσαι εδώ και ξαφνικά πας αλλού. Άρα δεν «προσεγγίζεις» αυτό που θέλεις. Το γράφω αυτό για τη συνάρτηση ακεραίου μέρους στο επιχείρημα του Cauchy.
Μετά από το συγκεκριμένο κείμενο που είδα στη Wikipedia νομίζω ότι τζάμπα μιλάγαμε τόση ώρα. Τα έχει όλα εκεί. Και η επιλογή της άποψης είναι θέμα του που δίνεις μεγαλύτερη προτεραιότητα: στο να γλιτώσεις εξαιρέσεις και να απλοποιήσεις τύπους, ή να θέλεις όλους τους δρόμους να οδηγούν στο ίδιο μέρος. Εγώ λειτουργώ με το δεύτερο τρόπο (εξ’ ιδιοσυγκρασίας). Υποθέτω πως εσύ λειτουργείς με τον πρώτο τρόπο.
Γιώργος Παπαργύρης (gpapargi@hotmail.com)

gbougioukas

  • Δεινόσαυρος
  • *****
  • Μηνύματα: 111
Απ: Μηδέν στη μηδενική
« Απάντηση #20 στις: 21 Μάρ 2017, 03:05:37 μμ »
@gpapargi

Τα μαθηματικά που ξέρω εγώ έχουν ως θεμέλιο την αρχή του αποκλειόμενου τρίτου. Αυτό στην περίπτωσή μας λέει ότι το 00 είτε ορίζεται, είτε δεν ορίζεται. Όταν η ίδια η ανάλυση λέει τη μία ότι το 00 δεν ορίζεται και την άλλη ότι...

για κάθε x:



...έχουμε αντίφαση, γιατί:
Για x=0 (εφόσον ισχύει για κάθε x), από το παραπάνω προκύπτει:



Αντίφαση, αν το 00 δεν ορίζεται.

Δεν είναι θέμα ιδιοσυγκρασίας, μαθηματικά χωρίς συνέπεια, δεν είναι μαθηματικά.

Τώρα, αυτά που λες με τους "δρόμους" δεν τα καταλαβαίνω, αν μπορείς να τα αναπαραστήσεις με αυστηρά μαθηματικούς όρους, να το συζητήσουμε.

gpapargi

  • Γενικός διαχειριστής
  • *****
  • Μηνύματα: 2408
  • I 'm not young enough to know everything
Απ: Μηδέν στη μηδενική
« Απάντηση #21 στις: 21 Μάρ 2017, 04:20:50 μμ »
Αν θέλουμε να είμαστε απόλυτα αυστηροί θα πρέπει να βάλουμε εξαίρεση στο x=0. Όπως γράφει  όμως και ο Λάμπρου για την περίπτωση αυτή, το 0^0 =1 «είναι ανεκτό αλλιώς θα έπρεπε να σημειώσουμε ότι εξαιρείται το x=0». Προειδοποιεί όμως ότι «Πρόκειται ακριβώς για μία σύμβαση η οποία έχει πρακτικά πλεονεκτήματα αλλά πρέπει πάντα να θυμώμαστε ότι είναι απλά ένας συμβολισμός και δεν πρέπει να κάνουμε πράξεις με χρήση του»
Άρα δε μιλάμε για κανονικό ορισμό που το χρησιμοποιούμε μετά σε πράξεις.
Και στη Wikipedia μιλάει για «ερμηνεία» που απλοποιεί τους τύπους.
Πολύ ενδιαφέρον είναι το άρθρο στη αγγλόφωνη Wikipedia που κάνει διάκριση ανάμεσα σε discrete exponents και continuous exponents.
https://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation#Zero_to_the_power_of_zero

Αυτό που λέω εγώ για δρόμους είναι το εξής:
Οι διακριτοί εκθέτες υποδεικνύουν ότι πρέπει να γίνει ο ορισμός 0^0=1. Οι συνεχείς εκθέτες υποδεικνύουν ότι δεν πρέπει να γίνει ο ορισμός. Αυτό που εννοώ εγώ είναι ότι και οι διακριτοί εκθέτες και οι συνεχείς εκθέτες θα πρέπει να υποδεικνύουν το ίδια πράγμα για να γίνει ο ορισμός. Αλλιώς εγώ δεν τον θέλω.
Πραγματικά το άρθρο της Wikipedia είναι κατατοπιστικότατο. Τα λέει όλα. Εσύ έχεις στο νου σου τους διακριτούς εκθέτες, ενώ εγώ τους συνεχείς. Και όσοι έχουν ένσταση στο να δοθεί επίσημος ορισμός 0^0=1 το κάνουν γιατί θα ήθελαν αυτό να υποδεικνύεται και από τους  συνεχείς εκθέτες (κάτι που δε συμβαίνει γιατί οι συνεχείς εκθέτες οδηγούν σε απροσδιοριστία). Αυτό είναι που εννοώ όταν λέω «όλοι οι δρόμοι».
Γιώργος Παπαργύρης (gpapargi@hotmail.com)

gbougioukas

  • Δεινόσαυρος
  • *****
  • Μηνύματα: 111
Απ: Μηδέν στη μηδενική
« Απάντηση #22 στις: 21 Μάρ 2017, 07:28:11 μμ »
«Πρόκειται ακριβώς για μία σύμβαση η οποία έχει πρακτικά πλεονεκτήματα αλλά πρέπει πάντα να θυμώμαστε ότι είναι απλά ένας συμβολισμός και δεν πρέπει να κάνουμε πράξεις με χρήση του»
Άρα δε μιλάμε για κανονικό ορισμό που το χρησιμοποιούμε μετά σε πράξεις.

Αυτό δεν είναι μαθηματικός ισχυρισμός, διότι η κοντινότερη μαθηματική ερμηνεία που μπορώ να κάνω είναι  α ∧ ¬α, το οποίο στα μαθηματικά το λέμε αντίφαση.

Πολύ ενδιαφέρον είναι το άρθρο στη αγγλόφωνη Wikipedia που κάνει διάκριση ανάμεσα σε discrete exponents και continuous exponents.
https://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation#Zero_to_the_power_of_zero

Αυτό που λέω εγώ για δρόμους είναι το εξής:
Οι διακριτοί εκθέτες υποδεικνύουν ότι πρέπει να γίνει ο ορισμός 0^0=1. Οι συνεχείς εκθέτες υποδεικνύουν ότι δεν πρέπει να γίνει ο ορισμός. Αυτό που εννοώ εγώ είναι ότι και οι διακριτοί εκθέτες και οι συνεχείς εκθέτες θα πρέπει να υποδεικνύουν το ίδια πράγμα για να γίνει ο ορισμός. Αλλιώς εγώ δεν τον θέλω.
Πραγματικά το άρθρο της Wikipedia είναι κατατοπιστικότατο. Τα λέει όλα. Εσύ έχεις στο νου σου τους διακριτούς εκθέτες, ενώ εγώ τους συνεχείς. Και όσοι έχουν ένσταση στο να δοθεί επίσημος ορισμός 0^0=1 το κάνουν γιατί θα ήθελαν αυτό να υποδεικνύεται και από τους  συνεχείς εκθέτες (κάτι που δε συμβαίνει γιατί οι συνεχείς εκθέτες οδηγούν σε απροσδιοριστία). Αυτό είναι που εννοώ όταν λέω «όλοι οι δρόμοι».

Συνεχείς εκθέτες; Το μηδέν δεν είναι "συνεχής εκθέτης", είναι πραγματική σταθερή, που θα πει κλάση ισοδυναμίας ρητών ακολουθιών Cauchy, της οποίας χαρακτηριστικό μέλος είναι η ακολουθία {0,0,0, ...}. Και επειδή η δύναμη ορίζεται με βάση τον πολλαπλασιασμό, και ο πολλαπλασιασμός πραγματικών σταθερών είναι πολλαπλασιασμός ρητών ακολουθιών Cauchy, o οποίος ορίζεται ως μία ακολουθία της οποίας κάθε ρητός όρος είναι το γινόμενο των αντίστοιχων ρητών όρων των παραγόντων (ακολουθιών), η τιμή μιας δύναμης πραγματικών σταθερών εξαρτάται από το πως ορίζεται ο πολλαπλασιασμός ρητών, ο οποίος εξαρτάται από το πως ορίζεται ο πολλαπλασιασμός ακεραίων. Το διακριτό βρίσκεται στα θεμέλια των ορισμών και καθορίζει την όποια συνέχεια.

CAUCHY’S CONSTRUCTION OF ℝ
« Τελευταία τροποποίηση: 23 Μάρ 2017, 11:35:18 πμ από gbougioukas »

gpapargi

  • Γενικός διαχειριστής
  • *****
  • Μηνύματα: 2408
  • I 'm not young enough to know everything
Απ: Μηδέν στη μηδενική
« Απάντηση #23 στις: 22 Μάρ 2017, 01:15:28 μμ »
Και τότε πως γίνεται ο Cauchy (με τη συγκεκριμένη κατασκευή του R που παραθέτεις), να είναι ταυτόχρονα ο βασικός υποστηρικτής της προσέγγισης του 0 με συνεχείς συναρτήσεις (που δεν τη δέχεσαι); Θεωρείς ότι χωρίς να το καταλάβει  έπεσε σε αντίφαση με τον εαυτό του και το εντοπίζεις τώρα εσύ;

Επίσης, διαβάζοντας τη Wikipedia για τους συνεχείς εκθέτες, κατάλαβες ότι λέει πως το 0 είναι συνεχής εκθέτης; Λέει πως ο εκθέτης μπορεί να προσεγγίσει το 0 μέσω συνεχών συναρτήσεων. Αυτό ακριβώς που έκανα στην αρχή και που τελικά ήταν ο τρόπος που αντιμετώπισε το θέμα ο  Cauchy. Τα λέει και η Wikipedia ξεκάθαρα.

Αν δε σου αρέσει η προσέγγιση του 0 με συνεχείς συναρτήσεις και θέλεις ακολουθίες, μπορείς να προσεγγίσεις το 0^0 με ακολουθίες. Απλά αντικαθιστάς στις δοσμένες συναρτήσεις το συνεχές x με το διακριτό  1/n. Έτσι το f(x) γίνεται F(x(n)). Αναλόγως και τα υπόλοιπα. Σχηματικά είναι σαν να πηγαίνεις στο σχήμα με ανεξάρτητη μεταβλητή το x και να παίρνεις κουκίδες που προσεγγίζουν το 0^0. 
Γιώργος Παπαργύρης (gpapargi@hotmail.com)

gbougioukas

  • Δεινόσαυρος
  • *****
  • Μηνύματα: 111
Απ: Μηδέν στη μηδενική
« Απάντηση #24 στις: 22 Μάρ 2017, 08:00:42 μμ »
Και τότε πως γίνεται ο Cauchy (με τη συγκεκριμένη κατασκευή του R που παραθέτεις), να είναι ταυτόχρονα ο βασικός υποστηρικτής της προσέγγισης του 0 με συνεχείς συναρτήσεις (που δεν τη δέχεσαι); Θεωρείς ότι χωρίς να το καταλάβει  έπεσε σε αντίφαση με τον εαυτό του και το εντοπίζεις τώρα εσύ;

Επίσης, διαβάζοντας τη Wikipedia για τους συνεχείς εκθέτες, κατάλαβες ότι λέει πως το 0 είναι συνεχής εκθέτης; Λέει πως ο εκθέτης μπορεί να προσεγγίσει το 0 μέσω συνεχών συναρτήσεων. Αυτό ακριβώς που έκανα στην αρχή και που τελικά ήταν ο τρόπος που αντιμετώπισε το θέμα ο  Cauchy. Τα λέει και η Wikipedia ξεκάθαρα.

Αν δε σου αρέσει η προσέγγιση του 0 με συνεχείς συναρτήσεις και θέλεις ακολουθίες, μπορείς να προσεγγίσεις το 0^0 με ακολουθίες. Απλά αντικαθιστάς στις δοσμένες συναρτήσεις το συνεχές x με το διακριτό  1/n. Έτσι το f(x) γίνεται F(x(n)). Αναλόγως και τα υπόλοιπα. Σχηματικά είναι σαν να πηγαίνεις στο σχήμα με ανεξάρτητη μεταβλητή το x και να παίρνεις κουκίδες που προσεγγίζουν το 0^0.

Ο Cauchy ήταν ένας σπουδαίος μαθηματικός, αλλά όχι ο Θεός, επομένως ναι, γενικά, δεν θα ήταν απίθανο να του διέφευγε κάτι (αυτό ως προς την επίκληση αυθεντίας, πάλι). Ωστόσο, στην δεδομένη περίπτωση, θεωρώ ότι η θέση του ήταν αποτέλεσμα του επιπέδου εξέλιξης των μαθηματικών της εποχής του. Το 00=1 δεν ήταν ακόμα ξεκάθαρο στους ακέραιους και γι' αυτό ο Cauchy επιχείρησε να το καθορίσει μέσω ορίων. Αν ήταν ξεκάθαρος αυτός ο ορισμός στους ακέραιους αριθμούς φυσικά δεν θα έθετε τέτοιο θέμα, αφού φυσικά γνώριζε πολύ καλά ότι ο πολλαπλασιασμός πραγματικών σταθερών, επομένως και οποιαδήποτε δύναμη πραγματικών σταθερών, ορίζεται μέσω του πολλαπλασιασμού ακεραίων. Το ότι σήμερα αυτό είναι ξεκάθαρο, σημαίνει ότι ο Cauchy δεν θα έθετε αυτό το θέμα σήμερα. Τι έχει αλλάξει στην εξέλιξη των μαθηματικών σήμερα από την εποχή του Cauchy; Έχει μεσολαβήσει ο 20ος αιώνας, ο οποίος για τα μαθηματικά είναι (μεταξύ άλλων) ο αιώνας της συνολοθεωρίας και του κενού συνόλου, η καθιέρωσή τους ως θεμέλιο των μαθηματικών. Μόνο έτσι μπόρεσε να δημιουργηθεί η αρχή του κενού γινομένου, η οποία λύνει το πρόβλημα στους ακέραιους, και επομένως οπουδήποτε:



Και επειδή ο 20ος αιώνας, είναι και ο αιώνας της προτασιακής και κατηγορηματικής λογικής, η διαίσθηση του Cauchy δεν λέει τίποτα σήμερα στην μαθηματική κοινότητα γενικά, πλην ελαχίστων εξαιρέσεων, όπως δεν θα έλεγε τίποτα και στον ίδιο τον Cauchy αν ζούσε σήμερα:



H (1) είναι μία δύναμη με βάση και εκθέτη συναρτήσεις της ίδιας μεταβλητής. Η (2) είναι μια δύναμη με βάση και εκθέτη την πραγματική σταθερή 0. Καμία σχέση το ένα με το άλλο, είναι ξεκάθαρα δύο διαφορετικά πράγματα.

Να προσθέσουμε κι ένα συναρτησιακό σύμβολο στην (1):



Μήπως άρχισαν να μοιάζουν τώρα;

H (1) - η οποία ισούται τώρα με 1/e - μας λέει τώρα ότι καθώς το x πλησιάζει το 0 από δεξιά (χωρίς να το ακουμπάει), η δύναμη, της οποίας, τότε, τόσο η βάση όσο και ο εκθέτης τείνουν στο 0, χωρίς στην συγκεκριμένη περίπτωση να το ακουμπάνε, τείνει στο 1/e (χωρίς να το ακουμπάει). Δεξιά παραμένει η δύναμη με εκθέτη και βάση σταθερά την πραγματική σταθερή 0, και όχι κάτι που τείνει στο 0. Καμία σχέση. Άλλο πράγμα κάτι που ΕΙΝΑΙ 0, άλλο πράγμα κάτι που ΤΕΙΝΕΙ στο 0. Αν θέλεις να ονομάσεις την αμέσως παραπάνω (1)  "απροσδιόριστη μορφή 00", Ok, κανένα πρόβλημα, είναι απλά μια μετα-μαθηματική ονομασία, αλλά αυτό δεν έχει καμία σχέση με το πως ορίζεται η δύναμη με βάση και εκθέτη μια πραγματική σταθερή: 00=1.
« Τελευταία τροποποίηση: 23 Μάρ 2017, 08:56:01 πμ από gbougioukas »

gpapargi

  • Γενικός διαχειριστής
  • *****
  • Μηνύματα: 2408
  • I 'm not young enough to know everything
Απ: Μηδέν στη μηδενική
« Απάντηση #25 στις: 23 Μάρ 2017, 11:15:19 πμ »
[...], αλλά αυτό δεν έχει καμία σχέση με το πως ορίζεται η δύναμη με βάση και εκθέτη μια πραγματική σταθερή: 00=1.

Αν είχε δοθεί ο ορισμός 0^0=1 θα το βλέπαμε στις αναφορές. Εφόσον η Wikipedia λέει άλλα, δεν έχει δοθεί τέτοιος ορισμός καθολικά αποδεκτός. Εσύ προφανώς διαφωνείς με αυτά που γράφει η Wikipedia. Αυτό θα ήθελα να το ξεκαθαρίσεις για να δούμε σε τι βάση γίνεται η συζήτηση. Η προσέγγιση με συναρτήσεις είναι και αυτή γραμμένη εκεί μέσα.
« Τελευταία τροποποίηση: 23 Μάρ 2017, 12:01:58 μμ από gpapargi »
Γιώργος Παπαργύρης (gpapargi@hotmail.com)

gbougioukas

  • Δεινόσαυρος
  • *****
  • Μηνύματα: 111
Απ: Μηδέν στη μηδενική
« Απάντηση #26 στις: 23 Μάρ 2017, 12:48:33 μμ »
Αν είχε δοθεί ο ορισμός 0^0=1 θα το βλέπαμε στις αναφορές. Εφόσον η Wikipedia λέει άλλα, δεν έχει δοθεί τέτοιος ορισμός καθολικά αποδεκτός. Εσύ προφανώς διαφωνείς με αυτά που γράφει η Wikipedia. Αυτό θα ήθελα να το ξεκαθαρίσεις για να δούμε σε τι βάση γίνεται η συζήτηση. Η προσέγγιση με συναρτήσεις είναι και αυτή γραμμένη εκεί μέσα.

Πάλι επίκληση αυθεντίας! Η wikipedia τώρα! Έστω. Η wikipedia δεν λέει αυτό που θέλεις εσύ να λέει, λέει αυτό που λέει, για συνεχείς εκθέτες δηλαδή συνεχείς συναρτήσεις μιας μεταβλητής που τείνουν στο 0. Άλλο πράγμα η συνεχής συνάρτηση μιας μεταβλητής που τείνει στο 0 και άλλο πράγμα η πραγματική σταθερή 0, δεν θέλεις να το δεις, Ok, τι να σου κάνω τώρα. Δεν μπορώ να κάνω κάτι. Το μόνο που μπορώ είναι να δώσω μια επιπλέον διευκρίνηση γιατί η δύναμη πραγματικών σταθερών ορίζεται τυπικά μέσω του πολλαπλασιασμού ακεραίων (αντιγράφω από το σχετικό άρθρο στο μπλογκ μου):

Μια δύναμη με βάση και εκθέτη μια πραγματική σταθερή (όπως η 00) αναπαριστάνεται τυπικά μέσω του πολλαπλασιασμού πραγματικών σταθερών. Για παράδειγμα (το α είναι μη-αρνητικό εξ’ ορισμού του ριζικού συμβόλου):



Φυσικά, το ίδιο ισχύει και για την περίπτωση άρρητης βάσης ή/και εκθέτη, χρειαζόμαστε όμως τον ορισμό της πραγματικής σταθερής που ακολουθεί. Μια πραγματική σταθερή είναι τυπικά μια κλάση ισοδυναμίας ρητών ακολουθιών Cauchy και αναπαριστάνεται συντακτικά από οποιοδήποτε μέλος της κλάσης ισοδυναμίας. Για παράδειγμα η πραγματική σταθερή 0 αναπαριστάνεται ως η ρητή ακολουθία {0, 0, 0, …}, ή κατά σύμβαση απλά 0, ενώ η πραγματική σταθερή π αναπαριστάνεται ως ρητή ακολουθία {3, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, ….} ή κατά σύμβαση απλά π. Το γινόμενο δύο πραγματικών αριθμών, δηλαδή δύο ρητών ακολουθιών Cauchy, ορίζεται ως η ρητή ακολουθία της οποίας κάθε όρος ισούται με το γινόμενο των αντίστοιχων όρων των παραγόντων (ακολουθιών), για παράδειγμα το γινόμενο π⋅e, ορίζεται ως εξής:

π⋅e = {3, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, …. } ⋅ {2, 2.7, 2.71, 2.718, 2.7182, 2.71828, …} =

{3⋅2, 3.14 ⋅ 2.71, 3.141 ⋅2.718, 3.1415 ⋅2.7182, 3.14159 ⋅2.71828, …} =

{6, 8.5094, 8.537238, 8.5392253, 8.5397212652, …}

Ας δούμε τώρα τι γίνεται με μια δύναμη με βάση και εκθέτη άρρητους, π.χ πe:

πe = {32, 3.12.7, 3.142.71, 3.1412.718, 3.14152.7182, 3.141592.71828,…}

Κάθε όρος της τελευταίας πραγματικής (αυτή τη φορά) ακολουθίας (Cauchy)  αναπαριστάνεται, λοιπόν, μέσω του πολλαπλασιασμού πραγματικών σταθερών, όπως είδαμε στο παράδειγμα με τον ρητό εκθέτη παραπάνω. Ο πολλαπλασιασμός πραγματικών σταθερών, όμως, και επομένως οποιαδήποτε δύναμη με βάση και εκθέτη πραγματικές σταθερές, θεμελιώνεται πάνω στον πολλαπλασιασμό ρητών σταθερών, ο οποίος φυσικά θεμελιώνεται πάνω στον πολλαπλασιασμό ακεραίων. Το να λέμε ότι η δύναμη (με βάση και εκθέτη πραγματικές σταθερές) 00 ορίζεται ή δεν ορίζεται με βάση την έννοια του ορίου της ανάλυσης,  είναι σαν να λέμε ότι ορίζεται ή δεν ορίζεται το γινόμενο δύο επί πέντε με βάση την ίδια έννοια. Δεν ορίζεται με βάση αυτήν την έννοια (βλ. CAUCHY’S CONSTRUCTION OF ℝ).

Όσον αφορά τις αναφορές. Επαναλαμβάνω, (σχεδόν) όποιο βιβλίο ανάλυσης ανοίξεις έχει το παρακάτω:

Για κάθε x:


Από όπου συνεπάγεται, για x=0:



Θες δεν θες, σε πάει μόνο του το πράγμα.
« Τελευταία τροποποίηση: 23 Μάρ 2017, 01:31:17 μμ από gbougioukas »

evry

  • Γενικός διαχειριστής
  • *****
  • Μηνύματα: 2917
  • to Iterate is human to Recurse divine
Απ: Μηδέν στη μηδενική
« Απάντηση #27 στις: 23 Μάρ 2017, 01:54:52 μμ »
@gbougioukas
Το πρόβλημα δεν είναι ότι ο Γιώργος δεν καταλαβαίνει αυτά που του λες, αλλά εσύ δεν καταλαβαίνεις ότι τα επιχειρήματά σου δεν είναι περισσότερο ισχυρά από αυτά της άλλης πλευράς, πέρα από το γεγονός ότι μιλάτε για κάτι στο οποίο ακόμα δεν έχει καταλήξει η μαθηματική κοινότητα ενώ εσύ είσαι απόλυτος.

Επίσης συνεχώς καυτηριάζεις με ειρωνικό τρόπο τις παραπομπές του Γιώργου με το επιχείρημα της επίκλησης στην αυθεντία.
Εσύ δεν επικαλέστηκες το 0^0 του Google? Εσύ ξεκίνησες με επίκληση στην αυθεντία.Δεν σε ειρωνεύτηκε κανένας όμως.

Τέλος , όλα όσα παραθέτεις είναι ενδείξεις και όχι αυστηρή απόδειξη.
Η συζητήση έχει χάσει το νόημά της έχει κουράσει γιατί επικαλείσαι συνεχώς τα ίδια επιχειρήματα, τα οποία ξαναλέω είναι ενδείξεις και όχι απόδειξη.
What I cannot create I do not understand -- Richard Feynman
http://evripides.mysch.gr

GiannisP

  • Νέος
  • *
  • Μηνύματα: 4
Απ: Μηδέν στη μηδενική
« Απάντηση #28 στις: 08 Μάι 2017, 04:16:20 μμ »
Εγω καποια στιγμη ειχα την ιδια απορια με το γιατι 0! = 1 και οχι 0. Πολυ απλα γιατι αμα εκανε 0 δεν θα εβγαινε κανενα παραγωντικο διαφορετικο του μηδενος. Γενικα απο οτι φαινεται πολλες φορες στα μαθηματικα μας "βολευει" καποια πραγματα να οριζονται με συγκεκριμενο τροπο. Αν και τυπικα η ευρεση του παραγωντικου ξεκιναει με το 1 αν θυμαμαι καλα, το γεγονος ομως παραμενει, ισως απλα να "βολευει".