Αποστολέας Θέμα: Μαθηματικές Απορίες  (Αναγνώστηκε 1193 φορές)

nikolasmer

  • Ομάδα Νέου Λυκείου
  • *
  • Μηνύματα: 485
  • There can be only one...may it be AEPP.
Μαθηματικές Απορίες
« στις: 29 Αύγ 2016, 12:22:43 μμ »
Επειδή στα μαθηματικά υπάρχουν σημεία που χωλαίνω αρκετά.... τοποθετώ κατευθείαν την απορία μου.

Είναι δυνατό η Διαφορά δυο σύνθετων αριθμών να μας κάνει Πρώτο αριθμό;
Και αν γίνεται υπάρχει πιθανότητα ο πρώτος αυτός αριθμός να είναι και παλινδρομικός;   
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ'ευχές ή παρακάλια
(Κ. Βάρναλης)

Μερεντίτης Νικόλαος
Καθηγητής Πληροφορικής - Φροντιστής

pgrontas

  • Ομάδα διαγωνισμάτων 2016
  • *
  • Μηνύματα: 1239
  • There are always possibilities...
Απ: Μαθηματικές Απορίες
« Απάντηση #1 στις: 29 Αύγ 2016, 01:11:01 μμ »
20-15 = 5, ο οποίος είναι τετριμμένα παλινδρομικός.
A man provided with paper, pencil, and rubber, and subject to strict discipline is in effect a universal machine - Alan Turing

nikolasmer

  • Ομάδα Νέου Λυκείου
  • *
  • Μηνύματα: 485
  • There can be only one...may it be AEPP.
Απ: Μαθηματικές Απορίες
« Απάντηση #2 στις: 29 Αύγ 2016, 01:14:07 μμ »
20-15 = 5, ο οποίος είναι τετριμμένα παλινδρομικός.
Άρα υπάρχει πιθανότητα να βρεθεί και επόμενος....έτσι δεν είναι;

Δεν ξέρω επίσης τι εννοείτε τετριμμένος. Μάλλον μονοψήφιος;

Σκέφτομαι αν ευσταθεί το παρακάτω ερώτημα:

"Να βρείτε αν υπάρχει πρώτος αριθμός (primary number) ο οποίος να είναι και παλινδρομικός και να μην είναι «τετριμμένος». Ο έλεγχος να γίνει για τους 1000 πρώτους ακέραιους θετικούς πρώτους αριθμούς 
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ'ευχές ή παρακάλια
(Κ. Βάρναλης)

Μερεντίτης Νικόλαος
Καθηγητής Πληροφορικής - Φροντιστής

pgrontas

  • Ομάδα διαγωνισμάτων 2016
  • *
  • Μηνύματα: 1239
  • There are always possibilities...
Απ: Μαθηματικές Απορίες
« Απάντηση #3 στις: 29 Αύγ 2016, 01:20:54 μμ »
Άρα υπάρχει πιθανότητα να βρεθεί και επόμενος....έτσι δεν είναι;
Βεβαιότητα θα έλεγα  :)
A man provided with paper, pencil, and rubber, and subject to strict discipline is in effect a universal machine - Alan Turing

itt

  • Δεινόσαυρος
  • *****
  • Μηνύματα: 412
  • Real stupidity beats ΑΙ any time
Απ: Μαθηματικές Απορίες
« Απάντηση #4 στις: 29 Αύγ 2016, 02:13:39 μμ »
Άρα υπάρχει πιθανότητα να βρεθεί και επόμενος....έτσι δεν είναι;

Δεν ξέρω επίσης τι εννοείτε τετριμμένος. Μάλλον μονοψήφιος;

Σκέφτομαι αν ευσταθεί το παρακάτω ερώτημα:

"Να βρείτε αν υπάρχει πρώτος αριθμός (primary number) ο οποίος να είναι και παλινδρομικός και να μην είναι «τετριμμένος». Ο έλεγχος να γίνει για τους 1000 πρώτους ακέραιους θετικούς πρώτους αριθμούς

Στέκει μια χαρά, οι αριθμοί αυτοί ονομάζονται palprimes.


Fun fact :
Παράθεση
Due to the superstitious significance of the numbers it contains, the palindromic prime 1000000000000066600000000000001 is known as Belphegor's Prime, named after Belphegor, one of the seven princes of Hell.

nikolasmer

  • Ομάδα Νέου Λυκείου
  • *
  • Μηνύματα: 485
  • There can be only one...may it be AEPP.
Απ: Μαθηματικές Απορίες
« Απάντηση #5 στις: 29 Αύγ 2016, 02:24:38 μμ »
Παράθεση
Due to the superstitious significance of the numbers it contains, the palindromic prime 1000000000000066600000000000001 is known as Belphegor's Prime, named after Belphegor, one of the seven princes of Hell.

Ευχαριστώ!

Δεν διάβασα ακόμη το άρθρο ολόκληρο.
"Τετριμμένος" τελικά τι είναι :D
Ποιά είναι η ξένη ορολογία του;

Υγ. Fun Fact 2: Έχει σημασία αν βρεθεί οτι το χρέος της Ελλάδας είναι Palindromic prime; ;) Και αν ναι ποιανού πρίγκιπα το όνομα θα πάρει; :P sarpist
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ'ευχές ή παρακάλια
(Κ. Βάρναλης)

Μερεντίτης Νικόλαος
Καθηγητής Πληροφορικής - Φροντιστής

itt

  • Δεινόσαυρος
  • *****
  • Μηνύματα: 412
  • Real stupidity beats ΑΙ any time
Απ: Μαθηματικές Απορίες
« Απάντηση #6 στις: 29 Αύγ 2016, 02:27:32 μμ »
Ευχαριστώ!

Δεν διάβασα ακόμη το άρθρο ολόκληρο.
"Τετριμμένος" τελικά τι είναι :D
Ποιά είναι η ξένη ορολογία του;

Υγ. Fun Fact 2: Έχει σημασία αν βρεθεί οτι το χρέος της Ελλάδας είναι Palindromic prime; ;) Και αν ναι ποιανού πρίγκιπα το όνομα θα πάρει; :P sarpist


Τετριμμένο στα μαθηματικά (trivial) είναι κάτι που η απόδειξή του είναι προφανής/πολύ εύκολη. Στην περίπτωσή σου όλοι οι μονοψήφιοι πρώτοι είναι τετριμμένα παλινδρομικοί.

nikolasmer

  • Ομάδα Νέου Λυκείου
  • *
  • Μηνύματα: 485
  • There can be only one...may it be AEPP.
Απ: Μαθηματικές Απορίες
« Απάντηση #7 στις: 29 Αύγ 2016, 02:30:56 μμ »

Τετριμμένο στα μαθηματικά (trivial) είναι κάτι που η απόδειξή του είναι προφανής/πολύ εύκολη. Στην περίπτωσή σου όλοι οι μονοψήφιοι πρώτοι είναι τετριμμένα παλινδρομικοί.

Ευχαριστώ και πάλι πάρα πολύ για τις παρατηρήσεις σας τις απορίες που μου λύσατε.
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ'ευχές ή παρακάλια
(Κ. Βάρναλης)

Μερεντίτης Νικόλαος
Καθηγητής Πληροφορικής - Φροντιστής

gpapargi

  • Γενικός διαχειριστής
  • *****
  • Μηνύματα: 2408
  • I 'm not young enough to know everything
Απ: Μαθηματικές Απορίες
« Απάντηση #8 στις: 30 Αύγ 2016, 11:18:31 πμ »
Επειδή στα μαθηματικά υπάρχουν σημεία που χωλαίνω αρκετά.... τοποθετώ κατευθείαν την απορία μου.

Είναι δυνατό η Διαφορά δυο σύνθετων αριθμών να μας κάνει Πρώτο αριθμό;
Και αν γίνεται υπάρχει πιθανότητα ο πρώτος αυτός αριθμός να είναι και παλινδρομικός;   

Καλημέρα. Προσθέτω κάτι στη συζήτηση.
Πάρε ένα οποιονδήποτε πρώτο p και οποιονδήποτε φυσικό αριθμό κ>=3. Οι αριθμοί (κ+1)*p και κ*p είναι σύνθετοι (αφού είναι γινόμενο φυσικών διάφορων του 1.  Η διαφορά τους είναι (κ+1)*p -  κ*p=(κ+1-κ)*p=p δηλαδή ο πρώτος που επέλεξες. Αν διαλέξεις πρώτο παλινδρομικό (πχ  11) τότε έχεις διαφορά σύνθετων να σου κάνει παλινδρομικό πρώτο.
Με ένα πρόγραμμα μπορείς να βρεις τους παλινδρομικούς που είναι και πρώτοι
Γιώργος Παπαργύρης (gpapargi@hotmail.com)

nikolasmer

  • Ομάδα Νέου Λυκείου
  • *
  • Μηνύματα: 485
  • There can be only one...may it be AEPP.
Απ: Μαθηματικές Απορίες
« Απάντηση #9 στις: 02 Σεπ 2016, 04:52:07 μμ »
Καλημέρα. Προσθέτω κάτι στη συζήτηση.
Πάρε ένα οποιονδήποτε πρώτο p και οποιονδήποτε φυσικό αριθμό κ>=3. Οι αριθμοί (κ+1)*p και κ*p είναι σύνθετοι (αφού είναι γινόμενο φυσικών διάφορων του 1.  Η διαφορά τους είναι (κ+1)*p -  κ*p=(κ+1-κ)*p=p δηλαδή ο πρώτος που επέλεξες. Αν διαλέξεις πρώτο παλινδρομικό (πχ  11) τότε έχεις διαφορά σύνθετων να σου κάνει παλινδρομικό πρώτο.
Με ένα πρόγραμμα μπορείς να βρεις τους παλινδρομικούς που είναι και πρώτοι

Ευχαριστώ για αυτή την καταπληκτική αναλυτικότατη εξήγηση.


Σε επόμενή μου απορία:

Έχουμε έναν θετικό αριθμό πχ το 32 και υπολογίζουμε το άθροισμα των κύβων των ψηφίων του, δηλαδή 3^3 + 2^3 = 35
Έπειτα συνεχίζουμε την ίδια διαδικασία για το 35. Δηλαδή 3^3+5^3 = 27 + 125 = 152.
Έπειτα ξανασυνεχίζουμε με το 152 κλπ κλπ.
Υπάρχει περίπτωση να ξανασυναντήσουμε τον αρχικό αριθμό 32 βρίσκοντας τα αθροίσματα των κύβων των ψηφίων των νέων αριθμών που προκύπτουν; Αν ναι αυτό γίνεται με όλους τους θετικούς αριθμούς;

Ευχαριστώ προκαταβολικά σε όσους μπαίνουν στον κόπο να σκεφτούν και να απαντήσουν στις δικές μου ελλειμματικές μαθηματικές γνώσεις.
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ'ευχές ή παρακάλια
(Κ. Βάρναλης)

Μερεντίτης Νικόλαος
Καθηγητής Πληροφορικής - Φροντιστής

gpapargi

  • Γενικός διαχειριστής
  • *****
  • Μηνύματα: 2408
  • I 'm not young enough to know everything
Απ: Μαθηματικές Απορίες
« Απάντηση #10 στις: 05 Σεπ 2016, 12:59:57 μμ »
Σε επόμενή μου απορία:

Έχουμε έναν θετικό αριθμό πχ το 32 και υπολογίζουμε το άθροισμα των κύβων των ψηφίων του, δηλαδή 3^3 + 2^3 = 35
Έπειτα συνεχίζουμε την ίδια διαδικασία για το 35. Δηλαδή 3^3+5^3 = 27 + 125 = 152.
Έπειτα ξανασυνεχίζουμε με το 152 κλπ κλπ.
Υπάρχει περίπτωση να ξανασυναντήσουμε τον αρχικό αριθμό 32 βρίσκοντας τα αθροίσματα των κύβων των ψηφίων των νέων αριθμών που προκύπτουν; Αν ναι αυτό γίνεται με όλους τους θετικούς αριθμούς;

Έχω κάνει κάποια προσέγγιση. Περιγράφω τις σκέψεις γιατί αυτές έχουν αξία και όχι τόσο το αποτέλεσμα
Επειδή υπάρχουν διψήφιοι που τελειώνουν σε 0 μπορούμε να βάλουμε και τους μονοψήφιους στο παιχνίδι γράφοντας τους με 0 στην αρχή. Δηλαδή το 20 και το 02 θα έχουν την ίδια εξέλιξη.

Παρατηρούμε ότι κάποιοι αριθμοί έχουν άθροισμα κύβων ψηφιών τριψήφιο ενώ άλλα διψήφιο. Αυτό δημιουργεί ένα ερώτημα που τελικά αποδείχτηκε πολύ κρίσιμο: Υπάρχει κάποιο  πλήθος ψηφίων τέτοιο ώστε το άθροισμα των κύβων των ψηφίων να έχει το ίδιο πλήθος; Για να το δούμε αυτό θα πρέπει να ελέγξουμε  τον αριθμό που δίνει το μεγαλύτερο άθροισμα κύβων ψηφίων (δηλαδή αυτόν που έχει μόνο εννιάρια). Παρατηρούμε λοιπόν ότι: το 99 έχει άθροισμα κύβων ψηφίων 1458, άρα η διψήφιοι βγαίνουν εκτός των ορίων τους. Για τους τριψήφιους ισχύει ότι το 999 δίνει 2187 άρα και οι τριψήφιοι δεν είναι κλειστοί ως προς τη διαδικασία αθροίσματος κύβων ψηφίων. Για τους τετραψήφιους ισχύει ότι το 9999 δίνει 2916. Εδώ έχουμε την επιθυμητή κλειστότητα.

Προκύπτει λοιπόν ένα πολύ κρίσιμο συμπέρασμα: Κάθε τετραψήφιος έχει άθροισμα κύβων ψηφίων με λιγότερα από 5 ψηφία. Ο τετραψήφιος δίνει τετραψήφιο (έστω και συμπληρώνοντας μηδενικά από μπροστά). Επειδή λοιπόν οι αριθμοί κάτω του 10000 είναι πεπερασμένοι, αν επαναλαμβάνουμε συνεχώς τη διαδικασία αθροίσματος κύβων ψηφίων, το πολύ σε 10000 βήματα θα έχουμε επαναλήψεις.  Το πρόβλημά μας λοιπόν είναι πεπερασμένο και διερευνάται πλήρως με 10000*10000 επαναλήψεις το πολύ. (δηλαδή 10000 το πολύ για κάθε αριθμό).

Υπάρχει περίπτωση να έχουμε αριθμούς που να είναι ίσοι με το άθροισμα των κύβων των ψηφίων τους. Αυτοί θα λειτουργούν σαν «καταβόθρες». Αν πέσεις σε αυτόν δε θα βγεις ποτέ. Υπάρχει περίπτωση να βρεις κύκλο από δίδυμους αριθμούς που ο ένας να σε παραπέμπει στον άλλο. Υπάρχει περίπτωση να βρεις και ομάδα 3,4 κλπ αριθμών που σε στέλνουν κυκλικά ο ένας στον άλλο και πάλι από την αρχή. Το σίγουρο είναι ότι αν πέσεις σε loop 1,2,3,4 κλπ αριθμών μετά δεν βγαίνεις από εκεί. Επίσης σίγουρο είναι ότι όλοι οι αριθμοί μέχρι το 10000 κάποια στιγμή θα πέσουν σε loop.
Μερικά δοκιμαστικά τρεξίματα έδωσαν κάποια ενδεικτικά συμπεράσματα.
Κάποιοι αριθμοί είναι καταβόθρες όπως ο 153. 1^3+5^3+3^3=153. Άλλη καταβόθρα είναι 407.
Loop 2 αριθμών είναι το ζευγάρι 919-1459. Ο ένας σε στέλνει στον άλλο και εγκλωβίζεσαι εκεί μέσα.
Loop 3 αριθμών είναι το 55-250-133. Ενδιαφέρον είναι ότι ο 55 είναι διψήφιος οπότε μπορείς είναι μια λύση στο αρχικό σου ερώτημα.


Για την πλήρη λύση θέλεις πρόγραμμα. Αν και νομίζω ότι η ουσία είναι αυτή που σου έγραψα. Το πρόβλημα είναι πεπερασμένο και ο φυσικός του χώρος είναι οι τετραψήφιοι. Για πιο πολλά ψηφία τα πράγματα περιπλέκονται καθώς μπορεί να γυρίσεις στους τετραψήφιους και να μείνεις εκεί ή να βγεις έξω. Αλλά νομίζω ξεφεύγουμε.
Γιώργος Παπαργύρης (gpapargi@hotmail.com)

nikolasmer

  • Ομάδα Νέου Λυκείου
  • *
  • Μηνύματα: 485
  • There can be only one...may it be AEPP.
Απ: Μαθηματικές Απορίες
« Απάντηση #11 στις: 06 Σεπ 2016, 01:16:34 μμ »
Σχετικά με τις "Καταβόθρες" που αναφέρθηκε πιο πάνω από τον κύριο Παπαργύρη, μου άρεσε πάρα πολύ η ερμηνεία και η έκφρασή του, οπότε θα το υιοθετήσω. Επίσης η ανάλυση του προβλήματος είναι τέλεια. Δε το σκέφτηκα σε τόσο αναλυτικό επίπεδο.

Ερώτηση 3η

Αν έχουμε την ακολουθία Fibonacci και ασχοληθούμε με τον αριθμό των 2ψήφιων, 3ψήφιων , 4ψήφιων αριθμών που ανήκουν σε αυτή, έχει νόημα η ερώτηση:
"Βρείτε μέχρι και τους 500ψήφιους αριθμούς , ποια κατηγορία έχει τη μεγαλύτερη συχνότητα αριθμών εμφάνισης στην ακολουθία Fibonacci;"
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ'ευχές ή παρακάλια
(Κ. Βάρναλης)

Μερεντίτης Νικόλαος
Καθηγητής Πληροφορικής - Φροντιστής

nikolasmer

  • Ομάδα Νέου Λυκείου
  • *
  • Μηνύματα: 485
  • There can be only one...may it be AEPP.
Απ: Μαθηματικές Απορίες
« Απάντηση #12 στις: 06 Σεπ 2016, 03:00:43 μμ »
Με βάση την παραπάνω ανάλυση του Κυρίου Παπαργύρη δίνω μια άσκηση που νομίζω ότι καλύπτει τον αρχικό συλλογισμό μου.

Έστω ότι υπολογίζουμε για έναν θετικό ακέραιο αριθμό το Άθροισμα των Κύβων των Ψηφίων του. Για παράδειγμα ο αριθμός 32 έχει άθροισμα κύβων των ψηφίων του 33 + 23 = 27 + 8 = 35. Αν τώρα συνεχίσουμε και υπολογίσουμε το Άθροισμα των Κύβων των Ψηφίων του αριθμού 35 που προέκυψε θα βρούμε 33 + 53 = 27 + 125 = 152  . Η διαδικασία αυτή μπορεί να συνεχιστεί και για τους επόμενους αριθμούς οι οποίοι προκύπτουν. Υπάρχουν όμως και αριθμοί των οποίων το Άθροισμα των Κύβων των Ψηφίων τους ισούται με τον ίδιο τον αριθμό. Αυτούς θα τους ονομάζουμε «Καταβόθρες». Ένα τέτοιο παράδειγμα αριθμού «Καταβόθρας» είναι το 153. Επίσης υπάρχουν αριθμοί όπως ο 919 το άθροισμα των κύβων των ψηφίων του οποίου ισούται με 1459 και αντίστοιχα το άθροισμα των κύβων των ψηφίων του αριθμού αυτού ισούται με 919. Αυτούς τους αριθμούς θα τους ονομάζουμε «Κλειστό Loop 2 αριθμών». Τέλος υπάρχουν αριθμοί όπως ο 55 του οποίου το άθροισμα των κύβων των ψηφίων του ισούται με 250, το άθροισμα των κύβων των ψηφίων του 250 ισούται με 133, ενώ το άθροισμα των ψηφίων του 133 ισούται με τον αρχικό αριθμό 55. Αυτούς τους αριθμούς θα τους ονομάζουμε «Κλειστό Loop 3 αριθμών». Να βρείτε και να εμφανίσετε για το σύνολο όλων των ακέραιων αριθμών [1 – 9999] :
a.   Όλους τους αριθμούς «Καταβόθρες»
b.   Όλα τα ζευγάρια των αριθμών που ανήκουν στην κατηγορία «Κλειστό Loop 2 αριθμών»
c.   Όλες τις τριάδες αριθμών που ανήκουν στην κατηγορία «Κλειστό Loop 3 αριθμών»
d.   Το άθροισμα των αριθμών που δεν ανήκουν σε καμία από τις 3 παραπάνω ειδικές κατηγορίες αριθμών που αναφέρθηκαν.
e.   Πόσοι «Παλινδρομικοί» αριθμοί είναι «Καταβόθρες» , πόσοι ανήκουν στην κατηγορία «Κλειστό Loop 2 αριθμών» και πόσοι ανήκουν στην κατηγορία «Κλειστό Loop 3 αριθμών». Αν σε κάποια κατηγορία δεν ανήκει κανένας παλινδρομικός αριθμός, να εμφανίζεται κατάλληλο μήνυμα.
Σημείωση: Παλινδρομικοί λέγονται οι αριθμοί που διαβάζονται το ίδιο και αντίστροφα, πχ. 919, 5445 κλπ.
« Τελευταία τροποποίηση: 06 Σεπ 2016, 04:01:35 μμ από nikolasmer »
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ'ευχές ή παρακάλια
(Κ. Βάρναλης)

Μερεντίτης Νικόλαος
Καθηγητής Πληροφορικής - Φροντιστής

gpapargi

  • Γενικός διαχειριστής
  • *****
  • Μηνύματα: 2408
  • I 'm not young enough to know everything
Απ: Μαθηματικές Απορίες
« Απάντηση #13 στις: 06 Σεπ 2016, 03:26:19 μμ »
[...]που αναφέρθηκε πιο πάνω από τον κύριο Παπαργύρη,[...]

Ας μιλάμε στον ενικό :)
Γιώργος Παπαργύρης (gpapargi@hotmail.com)

gpapargi

  • Γενικός διαχειριστής
  • *****
  • Μηνύματα: 2408
  • I 'm not young enough to know everything
Απ: Μαθηματικές Απορίες
« Απάντηση #14 στις: 07 Σεπ 2016, 10:59:07 πμ »
Ερώτηση 3η

Αν έχουμε την ακολουθία Fibonacci και ασχοληθούμε με τον αριθμό των 2ψήφιων, 3ψήφιων , 4ψήφιων αριθμών που ανήκουν σε αυτή, έχει νόημα η ερώτηση:
"Βρείτε μέχρι και τους 500ψήφιους αριθμούς , ποια κατηγορία έχει τη μεγαλύτερη συχνότητα αριθμών εμφάνισης στην ακολουθία Fibonacci;"

Τέτοιο είδους προβλήματα σαν αυτά που θέτεις Νίκο, δείχνουν το πόσο σημαντικά είναι τα μαθηματικά στην πληροφορική. Αν δεν αναλύσεις μαθηματικά το πρόβλημα δεν θα ξέρεις τι πρέπει να βάλεις τη μηχανή να ψάχνει. Πρώτα πρέπει να καταλάβεις από μαθηματική άποψη το πρόβλημα, να το αναλύσεις όσο γίνεται και στο τέλος να βάλεις τη μηχανή να κάνει τις πράξεις. Δεν παράγει τη σκέψη η μηχανή... ο άνθρωπος το κάνει. Η μηχανή κάνει απλώς τις πράξεις.

Νομίζω επίσης ότι η σχέση μαθηματικών με τους αλγορίθμους  πρέπει να τονίζεται γιατί δείχνει το πραγματικό πρόσωπο της πληροφορικής και της δίνει κύρος.  Η πληροφορική δεν έχει το κύρος που δικαιούται, τόσο στα μάτια των μαθητών, όσο και στα μάτια των καθηγητών των άλλων ειδικοτήτων. Αναδεικνύοντας  τη μαθηματική της συνιστώσα νομίζω ότι αποκαθίσταται το γόητρό της. Δεν είναι πάτημα πλήκτρων και απλή γραφή κώδικα. Κρύβει πολλή μαθηματική σκέψη από πίσω.

Τώρα στο τελευταίο πρόβλημά που έθεσες… το έχω προσεγγίσει. Φαίνεται πως μπορεί να βρεθεί με μαθηματικά επιχειρήματα το μέγιστο για όλους τους αριθμούς και όχι μόνο για  αυτούς με 500 ψηφία και κάτω. Μόλις βρω λίγο χρόνο θα περιγράψω τη λύση.   
Γιώργος Παπαργύρης (gpapargi@hotmail.com)